Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Étape 1.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Étape 1.1.3.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.1.3.8

Associez $- 3$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 1.1.3.9

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.1.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.1.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Étape 2.2

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{1}{2}}$ présent dans chaque terme.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}$

Étape 2.3

Remplacez $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$\frac{3 (u)}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Étape 2.4

Résolvez $u$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $3$ par $u$ .

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Étape 2.4.1.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$

Étape 2.4.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.4.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2, 2 u^{3}, 1$

Étape 2.4.2.2

Since $2, 2 u^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $u^{3}$ .

Étape 2.4.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4.2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 2.4.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4.2.6

Le plus petit multiple commun de $2, 2, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 2.4.2.7

Les facteurs pour $u^{3}$ sont $u \cdot u \cdot u$ , qui correspond à $u$ multipliés entre eux $3$ fois.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ se produit $3$ fois.

Étape 2.4.2.8

Le plus petit multiple commun de $u^{3}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$u \cdot u \cdot u$

Étape 2.4.2.9

Simplifiez $u \cdot u \cdot u$ .

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Étape 2.4.2.9.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Étape 2.4.2.9.2

Multipliez $u^{2}$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.2.9.2.1

Multipliez $u^{2}$ par $u$ .

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Étape 2.4.2.9.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Étape 2.4.2.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$u^{2 + 1}$

Étape 2.4.2.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$u^{3}$

Étape 2.4.2.10

Le plus petit multiple commun pour $2, 2 u^{3}, 1$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 u^{3}$

Étape 2.4.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ par $2 u^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ par $2 u^{3}$ .

$\frac{3 u}{2} (2 u^{3}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 u \cdot u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2.1.3

Multipliez $u$ par $u^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.2.1.3.1

Déplacez $u^{3}$ .

$3 (u^{3} u) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2.1.3.2

Multipliez $u^{3}$ par $u$ .

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Étape 2.4.3.2.1.3.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 (u^{3} u^{1}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 u^{3 + 1} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2.1.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$3 u^{4} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2 u^{3}$ .

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Étape 2.4.3.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{15}{2 u^{3}}$ dans le numérateur.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 u^{4} - 15 = 0 (2 u^{3})$

Étape 2.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.3.1

Multipliez $0 (2 u^{3})$ .

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Étape 2.4.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 u^{4} - 15 = 0 u^{3}$

Étape 2.4.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $u^{3}$ .

$3 u^{4} - 15 = 0$

Étape 2.4.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.4.1

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$3 u^{4} = 15$

Étape 2.4.4.2

Divisez chaque terme dans $3 u^{4} = 15$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 u^{4} = 15$ par $3$ .

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Étape 2.4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Étape 2.4.4.2.2.1.2

Divisez $u^{4}$ par $1$ .

$u^{4} = \frac{15}{3}$

Étape 2.4.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.2.3.1

Divisez $15$ par $3$ .

$u^{4} = 5$

Étape 2.4.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt[4]{5}$

Étape 2.4.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = \sqrt[4]{5}$

Étape 2.4.4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - \sqrt[4]{5}$

Étape 2.4.4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Étape 2.5

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Étape 2.6

Résolvez $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}$ pour $x$ .

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Étape 2.6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Étape 2.6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Étape 2.6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Étape 2.6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Étape 2.6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{5}}^{2}$ comme $\sqrt{5}$ .

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Étape 2.6.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{5}$ comme $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(5^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Étape 2.6.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 5^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Étape 2.6.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$x = 5^{\frac{2}{4}}$

Étape 2.6.2.2.1.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.6.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = 5^{\frac{2 (1)}{4}}$

Étape 2.6.2.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.6.2.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.6.2.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = 5^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.6.2.2.1.5

Réécrivez $5^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{5}$

Étape 2.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Étape 3.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Étape 3.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x < 0$

Étape 3.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.4.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 3.5

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Étape 4

Évaluez $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \sqrt{5}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{5}$ .

${(\sqrt{5})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(\sqrt{5})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 4.1.2

Supprimez les parenthèses.

${\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\sqrt{5}, {\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}})$

Étape 5