Calcul infinitésimal Exemples

${(3 (\cos (30 °) + i \sin (30 °)))}^{6}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

La valeur exacte de $\cos (30 °)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30 °)))}^{6}$

Étape 1.1.2

La valeur exacte de $\sin (30 °)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{6}$

Étape 1.1.3

Associez $i$ et $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{6}$

Étape 1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(3 \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{6}$

Étape 1.2.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + 3 \frac{i}{2})}^{6}$

Étape 1.2.3

Associez $3$ et $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{6} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{(3 \sqrt{3})}^{6}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3^{6} {\sqrt{3}}^{6}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$\frac{729 {\sqrt{3}}^{6}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{6}$ comme $3^{3}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{729 {(3^{\frac{1}{2}})}^{6}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{729 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$\frac{729 \cdot 3^{\frac{6}{2}}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 3.1.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{729 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{729 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{729 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{729 \cdot 3^{\frac{3}{1}}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2.2.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{729 \cdot 3^{3}}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{729 \cdot 27}{2^{6}} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{729 \cdot 27}{64} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.4

Multipliez $729$ par $27$ .

$\frac{19683}{64} + 6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5}$ .

$\frac{19683}{64} + 2 (3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5}) \frac{3 i}{2} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{19683}{64} + 3 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} (3 i) + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{19683}{64} + 9 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{5} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{{(3 \sqrt{3})}^{5}}{2^{5}} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{3^{5} {\sqrt{3}}^{5}}{2^{5}} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.8.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{243 {\sqrt{3}}^{5}}{2^{5}} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.8.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{5}$ comme $\sqrt{3^{5}}$ .

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{243 \sqrt{3^{5}}}{2^{5}} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.8.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{243 \sqrt{243}}{2^{5}} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.8.4

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.1.8.4.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{243 \sqrt{81 (3)}}{2^{5}} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.8.4.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{243 \sqrt{9^{2} \cdot 3}}{2^{5}} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.8.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{243 \cdot 9 \sqrt{3}}{2^{5}} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.8.6

Multipliez $243$ par $9$ .

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{2187 \sqrt{3}}{2^{5}} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.9

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{19683}{64} + 9 \frac{2187 \sqrt{3}}{32} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.10

Multipliez $9 \frac{2187 \sqrt{3}}{32}$ .

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Étape 3.1.10.1

Associez $9$ et $\frac{2187 \sqrt{3}}{32}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{9 (2187 \sqrt{3})}{32} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.10.2

Multipliez $2187$ par $9$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3}}{32} i + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.11

Associez $\frac{19683 \sqrt{3}}{32}$ et $i$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{4} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{{(3 \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{3^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.13.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 {\sqrt{3}}^{4}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 3.1.13.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 \cdot 3^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13.2.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.13.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.13.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13.2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 \cdot 3^{2}}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.13.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 \cdot 9}{2^{4}} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.14

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 \frac{81 \cdot 9}{16} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.15

Multipliez $81$ par $9$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + 15 (\frac{729}{16}) {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.16

Multipliez $15 (\frac{729}{16})$ .

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Étape 3.1.16.1

Associez $15$ et $\frac{729}{16}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{15 \cdot 729}{16} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.16.2

Multipliez $15$ par $729$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{10935}{16} {(\frac{3 i}{2})}^{2} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.17

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.17.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{10935}{16} \cdot \frac{{(3 i)}^{2}}{2^{2}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.17.2

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{10935}{16} \cdot \frac{3^{2} i^{2}}{2^{2}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.18

Associez.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{10935 (3^{2} i^{2})}{16 \cdot 2^{2}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.19.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{10935 \cdot 9 i^{2}}{16 \cdot 2^{2}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.19.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{10935 \cdot 9 \cdot - 1}{16 \cdot 2^{2}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.19.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.19.3.1

Multipliez $10935$ par $9$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{98415 \cdot - 1}{16 \cdot 2^{2}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.19.3.2

Multipliez $98415$ par $- 1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{- 98415}{16 \cdot 2^{2}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.20

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.20.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{- 98415}{2^{4} \cdot 2^{2}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.20.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{- 98415}{2^{4 + 2}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.20.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{- 98415}{2^{6}} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.21

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} + \frac{- 98415}{64} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{3} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.23

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.23.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{{(3 \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.23.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{3^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.24.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{27 {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.24.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{27 \sqrt{3^{3}}}{2^{3}} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.24.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{27 \sqrt{27}}{2^{3}} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.24.4

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.1.24.4.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{27 \sqrt{9 (3)}}{2^{3}} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.24.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{27 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.24.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{27 \cdot 3 \sqrt{3}}{2^{3}} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.24.6

Multipliez $27$ par $3$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{81 \sqrt{3}}{2^{3}} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.25

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 20 \frac{81 \sqrt{3}}{8} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.26

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.26.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 4 (5) \frac{81 \sqrt{3}}{8} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.26.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 4 \cdot 5 \frac{81 \sqrt{3}}{4 \cdot 2} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.26.3

Annulez le facteur commun.

Étape 3.1.26.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + 5 \frac{81 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.27

Associez $5$ et $\frac{81 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{5 (81 \sqrt{3})}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.28

Multipliez $81$ par $5$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{3} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.29

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.29.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(3 i)}^{3}}{2^{3}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.29.2

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3^{3} i^{3}}{2^{3}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.30

Associez.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3} (3^{3} i^{3})}{2 \cdot 2^{3}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.31

Multipliez $2$ par $2^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.31.1

Multipliez $2$ par $2^{3}$ .

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Étape 3.1.31.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3} (3^{3} i^{3})}{2^{1} \cdot 2^{3}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.31.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3} (3^{3} i^{3})}{2^{1 + 3}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.31.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3} (3^{3} i^{3})}{2^{4}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.32

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.32.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3} \cdot 27 i^{3}}{2^{4}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.32.2

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3} \cdot 27 (i^{2} \cdot i)}{2^{4}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.32.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3} \cdot 27 (- 1 \cdot i)}{2^{4}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.32.4

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{405 \sqrt{3} \cdot 27 \cdot - 1 i}{2^{4}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.32.5

Associez les exposants.

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Étape 3.1.32.5.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{- (405 \sqrt{3} \cdot 27 i)}{2^{4}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.32.5.2

Multipliez $27$ par $405$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{- (10935 \sqrt{3} i)}{2^{4}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.32.5.3

Multipliez $10935$ par $- 1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{- 10935 (\sqrt{3} i)}{2^{4}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{2^{4}} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.33

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.34

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.35

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.35.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 \frac{{(3 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.35.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 \frac{3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.36

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.36.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 \frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.36.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.36.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 \frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.36.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 \frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.36.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.36.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.36.2.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.1.36.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 \frac{9 \cdot 3^{1}}{2^{2}} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.36.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 \frac{9 \cdot 3}{2^{2}} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.37

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 \frac{9 \cdot 3}{4} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.38

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + 15 (\frac{27}{4}) {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.39

Multipliez $15 (\frac{27}{4})$ .

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Étape 3.1.39.1

Associez $15$ et $\frac{27}{4}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{15 \cdot 27}{4} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.39.2

Multipliez $15$ par $27$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{405}{4} {(\frac{3 i}{2})}^{4} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.40

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.40.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{405}{4} \cdot \frac{{(3 i)}^{4}}{2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.40.2

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{405}{4} \cdot \frac{3^{4} i^{4}}{2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.41

Associez.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{405 (3^{4} i^{4})}{4 \cdot 2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.42

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.42.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{405 \cdot 81 i^{4}}{4 \cdot 2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.42.2

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 3.1.42.2.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{405 \cdot 81 {(i^{2})}^{2}}{4 \cdot 2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.42.2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{405 \cdot 81 {(- 1)}^{2}}{4 \cdot 2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.42.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{405 \cdot 81 \cdot 1}{4 \cdot 2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.42.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.42.3.1

Multipliez $405$ par $81$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805 \cdot 1}{4 \cdot 2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.42.3.2

Multipliez $32805$ par $1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{4 \cdot 2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.43

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.43.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{2^{2} \cdot 2^{4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.43.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{2^{2 + 4}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.43.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{2^{6}} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.44

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 6 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.45

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.45.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 2 (3) \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.45.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 2 \cdot 3 \frac{3 \sqrt{3}}{2} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.45.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 3 (3 \sqrt{3}) {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.46

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} {(\frac{3 i}{2})}^{5} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.47

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.47.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} \frac{{(3 i)}^{5}}{2^{5}} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.47.2

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} \frac{3^{5} i^{5}}{2^{5}} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.48

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.48.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} \frac{243 i^{5}}{2^{5}} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.48.2

Factorisez $i^{4}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} \frac{243 (i^{4} i)}{2^{5}} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.48.3

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 3.1.48.3.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} \frac{243 ({(i^{2})}^{2} i)}{2^{5}} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.48.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} \frac{243 ({(- 1)}^{2} i)}{2^{5}} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.48.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} \frac{243 (1 i)}{2^{5}} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.48.4

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} \frac{243 i}{2^{5}} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.49

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + 9 \sqrt{3} \frac{243 i}{32} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.50

Multipliez $9 \sqrt{3} \frac{243 i}{32}$ .

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Étape 3.1.50.1

Associez $\frac{243 i}{32}$ et $9$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{243 i \cdot 9}{32} \sqrt{3} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.50.2

Multipliez $9$ par $243$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i}{32} \sqrt{3} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.50.3

Associez $\frac{2187 i}{32}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + {(\frac{3 i}{2})}^{6}$

Étape 3.1.51

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.51.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 i}{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{{(3 i)}^{6}}{2^{6}}$

Étape 3.1.51.2

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{3^{6} i^{6}}{2^{6}}$

Étape 3.1.52

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.52.1

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{729 i^{6}}{2^{6}}$

Étape 3.1.52.2

Factorisez $i^{4}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{729 (i^{4} i^{2})}{2^{6}}$

Étape 3.1.52.3

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 3.1.52.3.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{729 ({(i^{2})}^{2} i^{2})}{2^{6}}$

Étape 3.1.52.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{729 ({(- 1)}^{2} i^{2})}{2^{6}}$

Étape 3.1.52.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{729 (1 i^{2})}{2^{6}}$

Étape 3.1.52.4

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{729 i^{2}}{2^{6}}$

Étape 3.1.52.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{729 \cdot - 1}{2^{6}}$

Étape 3.1.53

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{729 \cdot - 1}{64}$

Étape 3.1.54

Multipliez $729$ par $- 1$ .

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{- 729}{64}$

Étape 3.1.55

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{19683}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i}{32} - \frac{98415}{64} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16} + \frac{32805}{64} + \frac{2187 i \sqrt{3}}{32} - \frac{729}{64}$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{19683 - 98415 + 32805 - 729}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i + 2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $98415$ de $19683$ .

$\frac{- 78732 + 32805 - 729}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i + 2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $- 78732$ et $32805$ .

$\frac{- 45927 - 729}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i + 2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.2.2.3

Soustrayez $729$ de $- 45927$ .

$\frac{- 46656}{64} + \frac{19683 \sqrt{3} i + 2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.2.2.4

Réorganisez les facteurs de $19683 \sqrt{3} i$ .

$\frac{- 46656}{64} + \frac{19683 i \sqrt{3} + 2187 i \sqrt{3}}{32} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.2.3

Additionnez $19683 i \sqrt{3}$ et $2187 i \sqrt{3}$ .

$\frac{- 46656}{64} + \frac{21870 i \sqrt{3}}{32} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Divisez $- 46656$ par $64$ .

$- 729 + \frac{21870 i \sqrt{3}}{32} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $21870$ et $32$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $21870 i \sqrt{3}$ .

$- 729 + \frac{2 (10935 i \sqrt{3})}{32} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$- 729 + \frac{2 (10935 i \sqrt{3})}{2 (16)} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 729 + \frac{2 (10935 i \sqrt{3})}{2 \cdot 16} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 729 + \frac{10935 i \sqrt{3}}{16} + \frac{- 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 729 + \frac{10935 i \sqrt{3}}{16} - \frac{10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 729 + \frac{10935 i \sqrt{3} - 10935 \sqrt{3} i}{16}$

Étape 3.4.2

Réorganisez les facteurs de $- 10935 \sqrt{3} i$ .

$- 729 + \frac{10935 i \sqrt{3} - 10935 i \sqrt{3}}{16}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $10935 i \sqrt{3}$ de $10935 i \sqrt{3}$ .

$- 729 + \frac{0}{16}$

Étape 3.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.4.1

Divisez $0$ par $16$ .

$- 729 + 0$

Étape 3.4.4.2

Additionnez $- 729$ et $0$ .

$- 729$