Calcul infinitésimal Exemples

$r = 4 \cot (θ) \csc (θ)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $4 \cot (θ) \csc (θ)$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$r = 4 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \csc (θ)$

Étape 1.1.2

Associez $4$ et $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ)} \csc (θ)$

Étape 1.1.3

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Étape 1.1.4

Multipliez $\frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $\frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ par $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Étape 1.1.4.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

Étape 1.1.4.3

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

Étape 1.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r = \frac{4 \cos (θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1}}$

Étape 1.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Étape 2

Comme $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , remplacez $\sin (θ)$ par $\frac{y}{r}$ .

$r = \frac{4 \cos (θ)}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Étape 3

Comme $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , remplacez $\cos (θ)$ par $\frac{x}{r}$ .

$r = \frac{4 \frac{x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés par $r$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés par $r$ .

$r \cdot r = r \frac{4 \frac{x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Multipliez $r$ par $r$ .

$r^{2} = r \frac{4 \frac{x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez $r \frac{4 \frac{x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$ .

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Étape 4.3.1.1

Associez $4$ et $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = r \frac{\frac{4 x}{r}}{{(\frac{y}{r})}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} = r \frac{\frac{4 x}{r}}{\frac{y^{2}}{r^{2}}}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r^{2} = r (\frac{4 x}{r} \cdot \frac{r^{2}}{y^{2}})$

Étape 4.3.1.4

Associez.

$r^{2} = r \frac{4 x r^{2}}{r y^{2}}$

Étape 4.3.1.5

Annulez le facteur commun de $r$ .

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Étape 4.3.1.5.1

Factorisez $r$ à partir de $r y^{2}$ .

$r^{2} = r \frac{4 x r^{2}}{r (y^{2})}$

Étape 4.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$r^{2} = r \frac{4 x r^{2}}{r y^{2}}$

Étape 4.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$r^{2} = \frac{4 x r^{2}}{y^{2}}$

Étape 5

Comme $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , remplacez $r^{2}$ par $x^{2} + y^{2}$ et $r$ par $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = \frac{4 x (x^{2} + y^{2})}{y^{2}}$