Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x - \ln (2 x)$

Étape 1

Écrivez $y = 2 x - \ln (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x - \ln (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$2 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Étape 2.1.3.6

Associez $\frac{1}{2 x}$ et $2$ .

$2 - \frac{2}{2 x}$

Étape 2.1.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$2 - \frac{2}{2 x}$

Étape 2.1.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$2 - \frac{1}{x}$

Étape 2.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 2$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $\frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 3.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion