Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 243$ .

$\frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 243$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 243) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 243$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Comme $243$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $243$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $243$ .

$\frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 2.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 2.6.3.2.2

Additionnez $486 x$ et $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $486$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $486 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 486 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}})$

Étape 3.2

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}})$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{2 \cdot 2}})$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 243)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 243$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 (x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.5.2

Factorisez $x^{2} + 243$ à partir de ${(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ .

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 243$ à partir de ${(x^{2} + 243)}^{2}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 243$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 243$ à partir de $(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 243]))$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.1

Factorisez $x^{2} + 243$ à partir de ${(x^{2} + 243)}^{4}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 243$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.9

Comme $243$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $243$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Étape 3.16

Associez $486$ et $\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 3.17

Simplifiez

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Étape 3.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2}) + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 3.17.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.2.1

Multipliez $- 3$ par $486$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 3.17.2.2

Multipliez $486$ par $243$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 3.17.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.17.3.1

Factorisez $1458$ à partir de $- 1458 x^{2} + 118098$ .

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Étape 3.17.3.1.1

Factorisez $1458$ à partir de $- 1458 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 3.17.3.1.2

Factorisez $1458$ à partir de $118098$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 1458 (81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 3.17.3.1.3

Factorisez $1458$ à partir de $1458 (- x^{2}) + 1458 (81)$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 3.17.3.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 9^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 3.17.3.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $9^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (9^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 3.17.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 9$ et $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 243$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 243) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 243$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Comme $243$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $243$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.6

Simplifiez

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Étape 5.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $243$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 5.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.2.2

Additionnez $486 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$486 x = 0$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $486 x = 0$ par $486$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $486 x = 0$ par $486$ .

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $486$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{486}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $0$ par $486$ .

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Associez les exposants.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1458 (9 + 0) (9 + 0)}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 10.2.1.2

Élevez $9 + 0$ à la puissance $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} (9 + 0))}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 10.2.1.3

Élevez $9 + 0$ à la puissance $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} {(9 + 0)}^{1})}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 10.2.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 10.2.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{1458 \cdot 9^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 10.2.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Étape 10.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0 + 243)}^{3}}$

Étape 10.3.2

Additionnez $0$ et $243$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{243^{3}}$

Étape 10.3.3

Élevez $243$ à la puissance $3$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{14348907}$

Étape 10.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.4.1

Multipliez $1458$ par $81$ .

$\frac{118098}{14348907}$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun à $118098$ et $14348907$ .

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Étape 10.4.2.1

Factorisez $59049$ à partir de $118098$ .

$\frac{59049 (2)}{14348907}$

Étape 10.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.2.2.1

Factorisez $59049$ à partir de $14348907$ .

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Étape 10.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Étape 10.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{243}$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 243}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 243}$

Étape 12.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 243}$

Étape 12.2.2.2

Additionnez $0$ et $243$ .

$f (0) = \frac{0}{243}$

Étape 12.2.3

Divisez $0$ par $243$ .

$f (0) = 0$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ .

$(0, 0)$ est un minimum local

Étape 14