Calcul infinitésimal Exemples

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (y)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ où $f (y) = - y^{2} + 14 y$ et $g (y) = y^{2}$

Étape 2

Simplifiez l’intégrande.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ comme $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ .

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.2

Développez $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1.6.1

Déplacez $y$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.6.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 2.1.3.1.6.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.9

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1.9.1

Déplacez $y^{2}$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.9.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 2.1.3.1.9.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.10

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.12

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1.12.1

Déplacez $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.12.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.1.13

Multipliez $14$ par $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.3.2

Soustrayez $14 y^{3}$ de $- 14 y^{3}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Étape 2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Étape 2.1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $y^{4}$ de $y^{4}$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ et $0$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Étape 4

Comme $- 28$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 28$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Étape 7

Comme $196$ est constant par rapport à $y$ , placez $196$ en dehors de l’intégrale.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{y^{4}}{4}$ sur $7$ et sur $0$ .

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $7$ et sur $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Élevez $7$ à la puissance $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 9.2.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.5

Additionnez $\frac{2401}{4}$ et $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.6

Associez $- 28$ et $\frac{2401}{4}$ .

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.7

Multipliez $- 28$ par $2401$ .

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8

Annulez le facteur commun à $- 67228$ et $4$ .

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Étape 9.2.3.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 67228$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8.2.4

Divisez $- 16807$ par $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.9

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 9.2.3.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.11.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 9.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 9.2.3.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

Étape 9.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

Étape 9.2.3.13

Additionnez $\frac{343}{3}$ et $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

Étape 9.2.3.14

Associez $196$ et $\frac{343}{3}$ .

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

Étape 9.2.3.15

Multipliez $196$ par $343$ .

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

Étape 9.2.3.16

Pour écrire $- 16807$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

Étape 9.2.3.17

Associez $- 16807$ et $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

Étape 9.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

Étape 9.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.19.1

Multipliez $- 16807$ par $3$ .

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

Étape 9.2.3.19.2

Additionnez $- 50421$ et $67228$ .

$V = π (\frac{16807}{3})$

Étape 9.2.3.20

Associez $π$ et $\frac{16807}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

Étape 9.2.3.21

Déplacez $16807$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{16807 π}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{16807 π}{3}$

Forme décimale :

$V = 17600.24924296 \dots$

Étape 11