Calcul infinitésimal Exemples

$y = t \ln^{2} (2 t)$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$y = t \ln^{2} (2 t)$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (2 t))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t$ et $g (t) = \ln^{2} (2 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (2 t)] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \ln (2 t)$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (2 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (2 t)$ .

$t (2 \ln (2 t) \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = 2 t$ .

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Étape 4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 t$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.3.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 t$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{1}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4

Différenciez.

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Étape 4.4.1

Associez $\frac{1}{2 t}$ et $2$ .

$t (\frac{2}{2 t} \ln (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.2.1

Associez $\frac{2}{2 t}$ et $\ln (2 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (2 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$t (\frac{2 \ln (2 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$t (\frac{\ln (2 t)}{t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2.3

Associez $\frac{\ln (2 t)}{t}$ et $t$ .

$\frac{\ln (2 t) t}{t} \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2.4

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 4.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (2 t) t}{t} \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.2.4.2

Divisez $\ln (2 t)$ par $1$ .

$\ln (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\ln (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\ln (2 t) (2 \cdot 1) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\ln (2 t) \cdot 2 + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (2 t)$ .

$2 \cdot \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Étape 4.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t) \cdot 1$

Étape 4.4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.7.1

Multipliez $\ln^{2} (2 t)$ par $1$ .

$2 \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t)$

Étape 4.4.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$