Calcul infinitésimal Exemples

$s = t^{4} \tan (t) - \sqrt{t}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{4} \tan (t) - t^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{4} \tan (t) - t^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $s$ par rapport à $t$ est $s'$ .

$s'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} \tan (t) - t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4} \tan (t)] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} \tan (t)] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [t^{4} \tan (t)]$ .

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Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = \tan (t)$ .

$t^{4} \frac{d}{d t} [\tan (t)] + \tan (t) \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\tan (t)$ par rapport à $t$ est $\sec^{2} (t)$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 4.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 4.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.3.9

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{4} \sec^{2} (t) + \tan (t) (4 t^{3}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$t^{4} \sec^{2} (t) + 4 t^{3} \tan (t) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$s' = t^{4} \sec^{2} (t) + 4 t^{3} \tan (t) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $s'$ par $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{4} \sec^{2} (t) + 4 t^{3} \tan (t) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$