Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Étape 1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{2 \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \tan (0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Étape 3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Étape 3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{3}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 (3 x^{2})}$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{15 x^{2}}$

Étape 4

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $15 x^{2}$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $0$ des deux côtés, la fonction augmente sans borne.

$\infty$