Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec^{2} (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{6}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sec^{2} (x) = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\sec^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sec (x) = \pm 0$

Étape 1.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\sec (x) = 0$

Étape 1.2.3

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{6}} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $\frac{π}{6}$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $\sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

Étape 3.3

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Étape 3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\tan (x)$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $0$ .

$\tan (\frac{π}{6}) - \tan (0)$

Étape 3.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.2.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (0)$

Étape 3.4.2.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 0$

Étape 3.4.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + 0$

Étape 3.4.2.4

Additionnez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$0.57735026 \dots$

Étape 5