Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2}{x}$ , $y = 8 x$ , $y = \frac{1}{8} x$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{2}{x} = 8 x$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{2}{x} = 8 x$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1 + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x} = 8 x$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x} = 8 x$ par $x$ .

$\frac{2}{x} \cdot x = 8 x \cdot x + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x} \cdot x = 8 x \cdot x + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = 8 x \cdot x + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$2 = 8 x \cdot x + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$2 = 8 x \cdot x + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.3.1.1

Déplacez $x$ .

$2 = 8 (x \cdot x) + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 = 8 x^{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$2 = 8 x^{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$2 = 8 x^{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$2 = 8 x^{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $8 x^{2} = 2$ .

$8 x^{2} = 2 + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $8 x^{2} = 2$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x^{2} = 2$ par $8$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{2}{8} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{2}{8} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{8} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x^{2} = \frac{2}{8} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x^{2} = \frac{2}{8} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 1.2.3.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{2} = \frac{2 (1)}{8} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 1.2.3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 8 x$

$y = \frac{1}{8} x$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = 8 (\frac{1}{2}) y = \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = 2 (4) \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 4$

Étape 1.4

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ dans $y = \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2})$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{8 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$y = \frac{1}{16}$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ .

$y = 8 (- \frac{1}{2}) y = \frac{1}{8} \cdot (- \frac{1}{2})$

Étape 1.5.2

Simplifiez $8 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y = 8 (\frac{- 1}{2})$

Étape 1.5.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y = 2 (4) \frac{- 1}{2}$

Étape 1.5.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \cdot 4 \frac{- 1}{2}$

Étape 1.5.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = 4 \cdot - 1$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = - 4$

Étape 1.6

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans $y = \frac{1}{8} \cdot (- \frac{1}{2})$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{8} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Étape 1.6.2

Simplifiez $\frac{1}{8} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$ .

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Étape 1.6.2.1

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$y = \frac{1}{8} \cdot (- (\frac{1}{2}))$

Étape 1.6.2.2

Multipliez $\frac{1}{8} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 1.6.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{8 \cdot 2}$

Étape 1.6.2.2.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$y = - \frac{1}{16}$

Étape 1.7

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{16})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{16})$

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{16})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{16})$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 8 x d x - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 8 x - (\frac{2}{x}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $\frac{2}{x}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 8 x - \frac{2}{x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 8 x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x} d x$

Étape 3.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x} d x$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x$

Étape 3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - (2 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 2 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.10

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 2 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.11

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.11.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.11.1.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $- \frac{1}{2}$ .

$8 ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 2 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.11.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $- \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3

Simplifiez

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Étape 3.11.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- (\frac{1}{2}))}^{2}}{2}) - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{1}{2})$ .

$8 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$8 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.4

Multipliez ${(\frac{1}{2})}^{2}$ par $1$ .

$8 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.1.3.6.1

Divisez $1$ par $2$ .

$8 \frac{{0.5}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.2

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$8 \frac{0.25 - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.3

Divisez $1$ par $2$ .

$8 \frac{0.25 - {0.5}^{2}}{2} - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$8 \frac{0.25 - 1 \cdot 0.25}{2} - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.5

Multipliez $- 1$ par $0.25$ .

$8 \frac{0.25 - 0.25}{2} - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.6

Soustrayez $0.25$ de $0.25$ .

$8 (\frac{0}{2}) - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.11.1.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$8 \frac{2 \cdot 0}{2} - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.11.1.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 \frac{2 \cdot 0}{2 (1)} - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 (\frac{0}{1}) - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$8 \cdot 0 - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.8

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 - 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.9

Soustrayez $2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$ de $0$ .

$- 2 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 \ln (\frac{| \frac{1}{2} |}{| - \frac{1}{2} |})$

Étape 3.11.3

Simplifiez

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Étape 3.11.3.1

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$- 2 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{| - \frac{1}{2} |})$

Étape 3.11.3.2

$- \frac{1}{2}$ est d’environ $- 0.5$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{1}{2}$ et retirez la valeur absolue

$- 2 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Étape 3.11.3.3

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{2}$ .

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Étape 3.11.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Étape 3.11.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \ln (1)$

Étape 3.11.3.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 2 \cdot 0$

Étape 3.11.3.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0$

Étape 4