Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{5}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 5 u^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x + 1) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (1)) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.2.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ et $0$ .

$f' (x) = 5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$5 {(x + 1)}^{4} - 5 = 0$

Étape 2.2

Simplifiez $5 {(x + 1)}^{4} - 5$ .

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} \cdot 1 + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Étape 2.2.1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1^{3} + 1^{4}) - 5 = 0$

Étape 2.2.1.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1^{4}) - 5 = 0$

Étape 2.2.1.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1^{4}) - 5 = 0$

Étape 2.2.1.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$5 (x^{4} + 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x + 1) - 5 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Étape 2.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.2.1.4.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 5 (6 x^{2}) + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Étape 2.2.1.4.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 5 (4 x) + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Étape 2.2.1.4.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 \cdot 1 - 5 = 0$

Étape 2.2.1.4.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5 = 0$

Étape 2.2.2

Associez les termes opposés dans $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 5 - 5$ .

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x + 0 = 0$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x$ et $0$ .

$5 x^{4} + 20 x^{3} + 30 x^{2} + 20 x = 0$

Étape 2.3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - 2, 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x + 1)}^{5} - 5 x - 2$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${((- 2) + 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

${(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 2 - 2$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- 1 - 5 \cdot - 2 - 2$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$- 1 + 10 - 2$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $10$ .

$9 - 2$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $2$ de $9$ .

$7$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${((0) + 1)}^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$1^{5} - 5 \cdot 0 - 2$

Étape 4.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 5 \cdot 0 - 2$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$1 + 0 - 2$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - 2$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, 7), (0, - 1)$

Étape 5