Calcul infinitésimal Exemples

$e^{2 x} + e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 1.1.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 1.1.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 e^{2 x} - e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

Étape 2.2

Déplacez $- e^{- x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

Étape 2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Étape 2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\ln (2 e^{2 x})$ comme $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Étape 2.4.2

Développez $\ln (e^{2 x})$ en déplaçant $2 x$ hors du logarithme.

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Étape 2.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

Étape 2.5

Développez le côté droit.

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Étape 2.5.1

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

Étape 2.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x$

Étape 2.6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.6.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $2 x$ et $x$ .

$\ln (2) + 3 x = 0$

Étape 2.7

Soustrayez $\ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - \ln (2)$

Étape 2.8

Divisez chaque terme dans $3 x = - \ln (2)$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.8.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - \ln (2)$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Étape 2.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

Étape 2.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $e^{2 x} + e^{- x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{\ln (2)}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{\ln (2)}{3}$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{\ln (2)}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (2)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.3.2

Simplifiez $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.6

Multipliez les exposants dans ${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.7

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Étape 4.1.2.9

Réécrivez $\frac{\ln (2)}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

Étape 4.1.2.10

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (2)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

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Étape 4.1.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Étape 4.1.2.11.2

Multipliez $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ par $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Étape 4.1.2.12

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

Étape 5