Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x) - 2 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (x) - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x} - 2 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{1}{x} - 4 x$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 4 x + \frac{1}{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x + \frac{1}{x}$ .

$- 4 x + \frac{1}{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x + \frac{1}{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x + \frac{1}{x} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $- 4 x + \frac{1}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $- 4 x + \frac{1}{x} = 0$ par $x$ .

$- 4 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 4 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 4 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 x^{2} + 1 = 0 x$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$- 4 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{2} = - 1$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{2} = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{2} = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 2.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 2.4.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.4.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.4.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Étape 2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\ln (x) - 2 x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (\frac{1}{2}) - 2 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\ln (\frac{1}{2}) - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (\frac{1}{2}) - 2 \frac{1}{2^{2}}$

Étape 4.1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\ln (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{4})$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (\frac{1}{2}) + 2 (- 1) \frac{1}{4}$

Étape 4.1.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\ln (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{1}{2}) - 1 (\frac{1}{2})$

Étape 4.1.2.5

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$\ln (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ .

$\ln (- \frac{1}{2}) - 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.2.2

Le logarithme naturel d’un nombre négatif est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\ln (0) - 2 {(0)}^{2}$

Étape 4.3.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{2}, \ln (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2})$

Étape 5