Calcul infinitésimal Exemples

$x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{19}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Étape 1.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $9$ de $19$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{10}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1}$

Étape 1.1.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}$

Étape 1.1.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}$

Étape 1.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 1 \cdot 9}{9}}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 9}{9}}$

Étape 1.1.3.5.2

Soustrayez $9$ de $10$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.1

Associez $\frac{19}{9}$ et $x^{\frac{10}{9}}$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

Étape 1.1.4.2

Associez $\frac{10}{9}$ et $x^{\frac{1}{9}}$ .

$f' (x) = \frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.52631578, 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Remplacez $x$ par $- 0.52631578$ .

${(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{9}$ .

${(0^{9})}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Étape 4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$0^{19} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Étape 4.2.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Étape 4.2.2.1.5

Réécrivez $0$ comme $0^{9}$ .

$0 + {(0^{9})}^{\frac{10}{9}}$

Étape 4.2.2.1.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

Étape 4.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.2.2.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

Étape 4.2.2.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 0^{10}$

Étape 4.2.2.1.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 0.52631578, {(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}), (0, 0)$

Étape 5