Calcul infinitésimal Exemples

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 2.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Étape 2.1.3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.1.3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Étape 2.1.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Étape 2.1.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 (x \cdot x^{- 4})$

Étape 2.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Étape 2.1.3.8

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.1.4.3.1

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Étape 2.1.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Étape 3.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 3.2.6

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 3.2.7

Les facteurs pour $x^{3}$ sont $x \cdot x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $3$ fois.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ se produit $3$ fois.

Étape 3.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{3}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x \cdot x$

Étape 3.2.9

Simplifiez $x \cdot x \cdot x$ .

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Étape 3.2.9.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Étape 3.2.9.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.9.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.2.9.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Étape 3.2.9.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 1}$

Étape 3.2.9.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{3}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ par $x^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ par $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- x - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{3}}$ dans le numérateur.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- x - 2 = 0 x^{3}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{3}$ .

$- x - 2 = 0$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 2$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- x = 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Divisez $2$ par $- 1$ .

$x = - 2$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 2$ .

$- 2$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 5.4

Résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 5.4.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 5.4.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 5.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = - \frac{1}{{(- 3)}^{2}} - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} - \frac{2}{- 27}$

Étape 7.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + \frac{2}{27}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- - \frac{2}{27}$ .

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Étape 7.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + 1 (\frac{2}{27})$

Étape 7.2.1.4.2

Multipliez $\frac{2}{27}$ par $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + \frac{2}{27}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{27}$

Étape 7.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{27}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{27} + \frac{2}{27}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 3) = \frac{- 3 + 2}{27}$

Étape 7.2.5

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1}{27}$

Étape 7.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = - \frac{1}{27}$

Étape 7.2.7

La réponse finale est $- \frac{1}{27}$ .

$- \frac{1}{27}$

Étape 7.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $- \frac{1}{27}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 2)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 8.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (- 1) = - 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - \frac{2}{- 1}$

Étape 8.2.1.5

Divisez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 2$

Étape 8.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 1) = - 1 + 2$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (- 1) = 1$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 8.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 2, 0)$ .

Augmente sur $(- 2, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = - 1 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 1 - \frac{2}{1}$

Étape 9.2.1.5

Divisez $2$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 - 1 \cdot 2$

Étape 9.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (1) = - 1 - 2$

Étape 9.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f' (1) = - 3$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 9.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 3$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \infty)$ .

Diminue sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 2, 0)$

Diminue sur : $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Étape 11