Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{x}$

Étape 1

Écrivez $\sqrt[3]{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt[3]{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Étape 2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Étape 3.9

Associez $x^{- \frac{5}{3}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Étape 3.11.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Étape 3.11.3

Placez $x^{- \frac{5}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 5.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 5.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 5.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Étape 5.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Étape 5.1.8

Simplifiez

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Étape 5.1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 6.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 7.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 x^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 7.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 7.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x^{2} = 0$

Étape 7.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.3.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 10.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Étape 10.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Étape 10.3.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Étape 10.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{2}{0}$

Étape 10.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{1}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{1}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (2) = \frac{1}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.3.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Étape 11.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = \sqrt[3]{x}$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 12