Calcul infinitésimal Exemples

$P = \frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{1}{10} t}})$

Étape 2

La dérivée de $P$ par rapport à $t$ est $P'$ .

$P'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Associez les fractions.

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Étape 3.1.1

Associez $t$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}]$

Étape 3.1.2

Réécrivez $\frac{1}{1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}}$ comme ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 5 e^{- \frac{t}{10}}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

Étape 3.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}])$

Étape 3.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- \frac{t}{10}}]$

Étape 3.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 e^{- \frac{t}{10}}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$ .

$- {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}])$

Étape 3.3.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{10}}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = - \frac{t}{10}$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- \frac{t}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{10}])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Comme $- \frac{1}{10}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{10}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (e^{- \frac{t}{10}} (- \frac{1}{10} \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 3.5.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $e^{- \frac{t}{10}}$ et $\frac{1}{10}$ .

$- 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (- \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} (\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10} \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.5.2.3

Associez $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{10}$ et $5$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.2.4

Associez $\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5}{10}$ et ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}} \cdot 5 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.2.5.1

Déplacez $5$ à gauche de $e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{5 \cdot e^{- \frac{t}{10}} {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}}{10} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.2.5.2

Placez ${(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.2.6

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 3.5.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $5 e^{- \frac{t}{10}}$ .

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}$ .

$\frac{5 (e^{- \frac{t}{10}})}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 e^{- \frac{t}{10}}}{5 (2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2})} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}} \cdot 1$

Étape 3.5.4

Multipliez $\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$P' = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $P'$ par $\frac{d P}{d t}$ .

$\frac{d P}{d t} = \frac{e^{- \frac{t}{10}}}{2 {(1 + 5 e^{- \frac{t}{10}})}^{2}}$