Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = e^{- x} + 1$ et $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 3.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- x} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.7

Additionnez $e^{- x} (- x')$ et $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x')) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.8

Multipliez $e^{x}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{- x + x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.8.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{e^{0} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.9

Simplifiez $e^{0} (- x')$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.10.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Étape 3.10.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Étape 3.10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Étape 3.11

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x' + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x' - e^{- x} (e^{x} x') - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.12.3.1.1

Multipliez $e^{- x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.12.3.1.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$\frac{- x' - (e^{x} e^{- x}) x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x' - e^{x - x} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.3.1.1.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{- x' - e^{0} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.3.1.2

Simplifiez $- e^{0} x'$ .

$\frac{- x' - 1 x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.3.1.3

Réécrivez $- 1 x'$ comme $- x'$ .

$\frac{- x' - x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- x' - x' - 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.3.1.5

Réécrivez $- 1 (e^{x} x')$ comme $- (e^{x} x')$ .

$\frac{- x' - x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.3.2

Soustrayez $x'$ de $- x'$ .

$\frac{- 2 x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- e^{x} x' - 2 x'}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.5

Factorisez $x'$ à partir de $- e^{x} x' - 2 x'$ .

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Étape 3.12.5.1

Factorisez $x'$ à partir de $- e^{x} x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) - 2 x'}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.5.2

Factorisez $x'$ à partir de $- 2 x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.5.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2$ .

$\frac{x' (- e^{x} - 2)}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{x}$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 2)}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.7

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 1 (2))}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{x}) - 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.9

Réécrivez $- (e^{x} + 2)$ comme $- 1 (e^{x} + 2)$ .

$\frac{x' (- 1 (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$

Étape 3.12.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.2.1

Divisez $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ par $1$ .

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = - 1$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par $e^{2 x}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x}$ .

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Étape 5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Étape 5.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x' e^{x} + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Étape 5.4.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x'$ .

$x' e^{x} + 2 x' = - e^{2 x}$

Étape 5.5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $x'$ à partir de $x' e^{x} + 2 x'$ .

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Étape 5.5.1.1

Factorisez $x'$ à partir de $x' e^{x}$ .

$x' (e^{x}) + 2 x' = - e^{2 x}$

Étape 5.5.1.2

Factorisez $x'$ à partir de $2 x'$ .

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Étape 5.5.1.3

Factorisez $x'$ à partir de $x' (e^{x}) + x' \cdot 2$ .

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ par $e^{x} + 2$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ par $e^{x} + 2$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x} + 2$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$