Calcul infinitésimal Exemples

$f' (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

Étape 1

La fonction $f (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Étape 2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

Étape 3

Laissez $u = 8 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 8 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez.

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Étape 3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.1.2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 3.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 4.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Simplifiez

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Étape 8.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Étape 8.1.3

Multipliez $\int \sqrt{u} d u$ par $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Étape 8.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

La fonction $f$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$f (x) = \frac{2}{3} \cdot {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$