Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\ln (x + 1)}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Étape 1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}$

Étape 1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.3.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\ln (x + 1)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 3.5.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}$

Étape 3.10

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3}{\frac{1}{x + 1}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} 3 (x + 1)$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} x + 1$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 (lim_{x \to 0} x + 1)$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 (0 + 1)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$