Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 1.1.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Étape 1.1.4.2

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Étape 1.1.4.2.1

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Étape 1.1.4.2.2

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $- 3 \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Étape 1.1.4.2.3

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Étape 1.1.4.3

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Étape 1.1.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

Étape 1.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Étape 1.1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Étape 1.1.4.7

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Étape 1.1.4.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Étape 1.1.4.9

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.9.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 1.1.4.9.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 1.1.4.9.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Étape 1.1.4.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Étape 1.1.4.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Étape 1.1.4.10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \sin^{3} (x)$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\sin^{3} (x)$ par $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $0$ par $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Étape 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.4

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\sin (x) = 0$

Étape 2.5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 2.6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 2.8

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 2.9

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.9.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.10

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.11

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $π n$ .

$π n$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ augmente et diminue est $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, π n)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $π n - 1$ dans l’expression.

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Étape 5.2

La réponse finale est $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Étape 5.3

Simplifiez

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Étape 5.4

Sur $x = π n - 1$ la dérivée est $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, π n)$ .

Diminue sur $(- \infty, π n)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(π n, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $π n + 1$ dans l’expression.

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Étape 6.2

La réponse finale est $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Étape 6.3

Simplifiez

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Étape 6.4

Sur $x = π n + 1$ la dérivée est $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(π n, \infty)$ .

Diminue sur $(π n, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Étape 8