Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x e^{x} (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 2$ .

$0, - 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{2} e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = 9 e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = 9 (\frac{1}{e^{3}}) + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Étape 5.2.1.3

Associez $9$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot e^{- 3}$

Étape 5.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Étape 5.2.1.6

Associez $- 6$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + \frac{- 6}{e^{3}}$

Étape 5.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}$

Étape 5.2.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 3) = \frac{9 - 6}{e^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $6$ de $9$ .

$f' (- 3) = \frac{3}{e^{3}}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $\frac{3}{e^{3}}$ .

$\frac{3}{e^{3}}$

Étape 5.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $\frac{3}{e^{3}}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 1 e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $e^{- 1}$ par $1$ .

$f' (- 1) = e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Étape 6.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot e^{- 1}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 6.2.1.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Étape 6.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 1) = \frac{1 - 2}{e}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{e}$

Étape 6.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{1}{e}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e}$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{1}{e}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, 0)$ .

Diminue sur $(- 2, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = {(1)}^{2} e^{1} + 2 (1) \cdot e^{1}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 1 e + 2 (1) \cdot e$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $e^{1}$ par $1$ .

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Étape 7.2.1.3

Simplifiez

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = e + 2 e$

Étape 7.2.2

Additionnez $e$ et $2 e$ .

$f' (1) = 3 e$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $3 e$ .

$3 e$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $3 e$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- 2, 0)$

Étape 9