Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 + \ln (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x) = - 1$

Étape 2.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Étape 2.4

Réécrivez $\ln (x) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Étape 2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 4.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

Étape 6

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, \frac{1}{e})$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{1}{e})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0.18393972$ dans l’expression.

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

Étape 7.2

La réponse finale est $1 + \ln (0.18393972)$ .

$1 + \ln (0.18393972)$

Étape 7.3

Simplifiez

$- 0.69314715$

Étape 7.4

Sur $x = 0.18393972$ la dérivée est $- 0.69314715$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, \frac{1}{e})$ .

Diminue sur $(0, \frac{1}{e})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{1}{e}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.36787945$ dans l’expression.

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

Étape 9.2

La réponse finale est $1 + \ln (1.36787945)$ .

$1 + \ln (1.36787945)$

Étape 9.3

Simplifiez

$1.31326169$

Étape 9.4

Sur $x = 1.36787945$ la dérivée est $1.31326169$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(\frac{1}{e}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{1}{e}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{1}{e}, \infty)$

Diminue sur : $(0, \frac{1}{e})$

Étape 11