Calcul infinitésimal Exemples

$c (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

Étape 1

Comme $t$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Étape 2

Simplifiez $3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Étape 2.3

Associez $t$ et $\frac{1}{30}$ .

$3 t e^{- \frac{t}{30}} = c t$

Étape 3

Soustrayez $c t$ des deux côtés de l’équation.

$3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t = 0$

Étape 4

Factorisez $t$ à partir de $3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t$ .

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Étape 4.1

Factorisez $t$ à partir de $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ .

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) - c t = 0$

Étape 4.2

Factorisez $t$ à partir de $- c t$ .

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c) = 0$

Étape 4.3

Factorisez $t$ à partir de $t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c)$ .

$t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

Étape 6

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 7

Définissez $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 7.1

Définissez $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ égal à $0$ .

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

Étape 7.2

Résolvez $3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$ pour $t$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $c$ aux deux côtés de l’équation.

$3 e^{- \frac{t}{30}} = c$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ par $3$ .

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $e^{- \frac{t}{30}}$ par $1$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = \frac{c}{3}$

Étape 7.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 7.2.4.1

Développez $\ln (e^{- \frac{t}{30}})$ en déplaçant $- \frac{t}{30}$ hors du logarithme.

$- \frac{t}{30} \ln (e) = \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- \frac{t}{30} \cdot 1 = \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{t}{30} = \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 30$ .

$- 30 (- \frac{t}{30}) = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.6.1

Simplifiez $- 30 (- \frac{t}{30})$ .

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Étape 7.2.6.1.1

Annulez le facteur commun de $30$ .

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Étape 7.2.6.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{t}{30}$ dans le numérateur.

$- 30 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.6.1.1.2

Factorisez $30$ à partir de $- 30$ .

$30 (- 1) \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.6.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$30 \cdot - 1 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.6.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.6.1.2

Multipliez.

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Étape 7.2.6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Étape 7.2.6.1.2.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$ vraie.

$t = 0$

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$