Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 2 x$ et $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2.9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Développez $(x + 1) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 0 - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x - 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x - 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x - 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.2.8

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 2) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $- 2 (x^{2} + 2 x - 2) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2.3

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2)) + (x + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.1

Factorisez $x + 1$ à partir de ${(x + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 2)}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) (2 x + 2) - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1.1

Développez $(x + 1) (2 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.2.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.2.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.2.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} + 4 x + 2 - 2 x^{2} - 4 x + 4$ .

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Étape 2.10.2.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x + 2 + 0 - 4 x + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.2.2

Additionnez $4 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x + 2 - 4 x + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.2.3

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.2.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 + 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{6}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{6}{{(x + 1)}^{3}}$