Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2}$ ; $y = 8 - x^{2}$ ; $y = 4 x + 12$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} = 8 - x^{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x^{2} = 8 - x^{2}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x^{2} = 8 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.1.2

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{2} = 8 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

$2 x^{2} = 8 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 8$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 8$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2} + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2} + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{8}{2} + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

$x^{2} = \frac{8}{2} + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

$x^{2} = \frac{8}{2} + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $8$ par $2$ .

$x^{2} = 4 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

$x^{2} = 4 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

$x^{2} = 4 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4} + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}} + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

$x = \pm 2 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

$x = 2, - 2 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

$x = 2, - 2 + y = 8 - x^{2}$

$y = 4 x + 12$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 2$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$y = 8 - {(2)}^{2} y = 4 (2) + 12$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans $y = 8 - {(2)}^{2}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 8 - 2^{2}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $8 - 2^{2}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 8 - 1 \cdot 4$

Étape 1.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = 8 - 4$

Étape 1.3.2.2.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$y = 4$

Étape 1.4

Simplifiez $4 (2) + 12$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = 8 + 12$

Étape 1.4.2

Additionnez $8$ et $12$ .

$y = 20$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - 2$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$y = 8 - {(- 2)}^{2} y = 4 (- 2) + 12$

Étape 1.5.2

Simplifiez $8 - {(- 2)}^{2}$ .

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Étape 1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = 8 - 1 \cdot 4$

Étape 1.5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = 8 - 4$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$y = 4$

Étape 1.6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(2, 20)$

$(- 2, 4)$

$(2, 20)$

$(- 2, 4)$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $8$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 8$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 8 d x - \int_{- 2}^{2} x^{2} d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 8 - (x^{2}) d x$

Étape 4.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\int_{- 2}^{2} - 2 x^{2} + 8 d x$

Étape 4.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 8 d x$

Étape 4.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 8 d x$

Étape 4.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 8 d x$

Étape 4.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 8 d x$

Étape 4.7

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 8 x]_{- 2}^{2}$

Étape 4.8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.8.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 8 x]_{- 2}^{2}$

Étape 4.8.2

Évaluez $8 x$ sur $2$ et sur $- 2$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3

Simplifiez

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Étape 4.8.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 (\frac{8}{3} - - \frac{8}{3}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.5

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 \frac{8 + 8}{3} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.7

Additionnez $8$ et $8$ .

$- 2 (\frac{16}{3}) + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.8

Associez $- 2$ et $\frac{16}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 16}{3} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.9

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$\frac{- 32}{3} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32}{3} + 8 \cdot 2 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.11

Multipliez $8$ par $2$ .

$- \frac{32}{3} + 16 - 8 \cdot - 2$

Étape 4.8.3.12

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$- \frac{32}{3} + 16 + 16$

Étape 4.8.3.13

Additionnez $16$ et $16$ .

$- \frac{32}{3} + 32$

Étape 4.8.3.14

Pour écrire $32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.8.3.15

Associez $32$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

Étape 4.8.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 32 + 32 \cdot 3}{3}$

Étape 4.8.3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.3.17.1

Multipliez $32$ par $3$ .

$\frac{- 32 + 96}{3}$

Étape 4.8.3.17.2

Additionnez $- 32$ et $96$ .

$\frac{64}{3}$

Étape 5