Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1 d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Étape 4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Étape 5

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C$ .

$\arctan (x) + C + \int - e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (x) + C - \int e^{x} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Étape 7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + \int \frac{5}{x} d x + \int d x$

Étape 8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Étape 9

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + \int d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\arctan (x) + C - (e^{x} + C) + 5 (\ln (| x |) + C) + x + C$

Étape 11

Simplifiez

$\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$

Étape 12

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}} - e^{x} + \frac{5}{x} + 1$ .

$F (x) =$ $\arctan (x) - e^{x} + 5 \ln (| x |) + x + C$