Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(x + 7) {(13 - 5 x)}^{4}}{{(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2}} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 7 = 0$

${(13 - 5 x)}^{4} = 0$

${(1 - 4 x)}^{3} = 0$

${(2 x + 11)}^{2} = 0$

Étape 2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 3

Définissez le $13 - 5 x$ égal à $0$ .

$13 - 5 x = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x = - 13$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 13$ par $- 5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 13$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 13}{- 5}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 13}{- 5}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 13}{- 5}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{13}{5}$

Étape 5

Définissez le $1 - 4 x$ égal à $0$ .

$1 - 4 x = 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 1$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{4}$

Étape 7

Définissez le $2 x + 11$ égal à $0$ .

$2 x + 11 = 0$

Étape 8

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 11$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 11$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 11$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{11}{2}$

Étape 9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 7$

$x = \frac{13}{5}$

$x = \frac{1}{4}$

$x = - \frac{11}{2}$

Étape 10

Consolidez les solutions.

$x = - 7, \frac{13}{5}, \frac{1}{4}, - \frac{11}{2}$

Étape 11

Déterminez le domaine de $\frac{(x + 7) {(13 - 5 x)}^{4}}{{(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 7) {(13 - 5 x)}^{4}}{{(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2} = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(1 - 4 x)}^{3} = 0$

${(2 x + 11)}^{2} = 0$

Étape 11.2.2

Définissez ${(1 - 4 x)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Définissez ${(1 - 4 x)}^{3}$ égal à $0$ .

${(1 - 4 x)}^{3} = 0$

Étape 11.2.2.2

Résolvez ${(1 - 4 x)}^{3} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.1

Définissez le $1 - 4 x$ égal à $0$ .

$1 - 4 x = 0$

Étape 11.2.2.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - 1$

Étape 11.2.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 11.2.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 11.2.2.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Étape 11.2.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{4}$

Étape 11.2.3

Définissez ${(2 x + 11)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1

Définissez ${(2 x + 11)}^{2}$ égal à $0$ .

${(2 x + 11)}^{2} = 0$

Étape 11.2.3.2

Résolvez ${(2 x + 11)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.1

Définissez le $2 x + 11$ égal à $0$ .

$2 x + 11 = 0$

Étape 11.2.3.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.2.1

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 11$

Étape 11.2.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 11$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 11$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Étape 11.2.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Étape 11.2.3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Étape 11.2.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{11}{2}$

Étape 11.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(1 - 4 x)}^{3} {(2 x + 11)}^{2} = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{11}{2}$

Étape 11.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{11}{2}) \cup (- \frac{11}{2}, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < - \frac{11}{2}$

$- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$

$x > \frac{13}{5}$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((- 10) + 7) {(13 - 5 \cdot - 10)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot - 10)}^{3} {(2 (- 10) + 11)}^{2}} \leq 0$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $- 8.4653879$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - \frac{11}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - \frac{11}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((- 6) + 7) {(13 - 5 \cdot - 6)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot - 6)}^{3} {(2 (- 6) + 11)}^{2}} \leq 0$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $218.803264$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((0) + 7) {(13 - 5 \cdot 0)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot 0)}^{3} {(2 (0) + 11)}^{2}} \leq 0$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $1652.28925619$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.4

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 13.4.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((1) + 7) {(13 - 5 \cdot 1)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot 1)}^{3} {(2 (1) + 11)}^{2}} \leq 0$

Étape 13.4.3

Le côté gauche $- 7.18124041$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{13}{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{13}{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 13.5.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{((5) + 7) {(13 - 5 \cdot 5)}^{4}}{{(1 - 4 \cdot 5)}^{3} {(2 (5) + 11)}^{2}} \leq 0$

Étape 13.5.3

Le côté gauche $- 0.08226343$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - \frac{11}{2}$ Faux

$- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$ Faux

$\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$ Vrai

$x > \frac{13}{5}$ Vrai

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - \frac{11}{2}$ Faux

$- \frac{11}{2} < x < \frac{1}{4}$ Faux

$\frac{1}{4} < x < \frac{13}{5}$ Vrai

$x > \frac{13}{5}$ Vrai

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 7$ ou $\frac{1}{4} < x \leq \frac{13}{5}$ ou $x \geq \frac{13}{5}$

Étape 15

Associez les intervalles.

$x \leq - 7 or x > \frac{1}{4}$

Étape 16

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 7] \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Étape 17