Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{12} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{12}$ .

$f' (x) = \frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{4}{12}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (15)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $\frac{x^{3}}{3} - 4 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 4 x$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4 \cdot 1$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 4$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 4$ .

$x^{2} - 4$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 4 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $2$ dans $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{1}{12} \cdot {(2)}^{4} - 2 {(2)}^{2} + 15$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = \frac{1}{12} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2} + 15$

Étape 3.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f (2) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - 2 {(2)}^{2} + 15$

Étape 3.1.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2} + 15$

Étape 3.1.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(2)}^{2} + 15$

Étape 3.1.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 4 - 2 {(2)}^{2} + 15$

Étape 3.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 2 {(2)}^{2} + 15$

Étape 3.1.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 2 \cdot 4 + 15$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f (2) = \frac{4}{3} - 8 + 15$

Étape 3.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Écrivez $- 8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} + 15$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 15$

Étape 3.1.2.2.4

Écrivez $15$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Étape 3.1.2.2.5

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.1.2.2.6

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{4 - 8 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (2) = \frac{4 - 24 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.1.2.4.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$f (2) = \frac{4 - 24 + 45}{3}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.5.1

Soustrayez $24$ de $4$ .

$f (2) = \frac{- 20 + 45}{3}$

Étape 3.1.2.5.2

Additionnez $- 20$ et $45$ .

$f (2) = \frac{25}{3}$

Étape 3.1.2.6

La réponse finale est $\frac{25}{3}$ .

$\frac{25}{3}$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ est $(2, \frac{25}{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, \frac{25}{3})$

Étape 3.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{1}{12} \cdot {(- 2)}^{4} - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{12} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$f (- 2) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Étape 3.3.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Étape 3.3.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 2) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Étape 3.3.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot 4 - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Étape 3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $4$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 15$

Étape 3.3.2.1.4

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + (- 2) {(- 2)}^{2} + 15$

Étape 3.3.2.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2) = \frac{4}{3} + {(- 2)}^{1 + 2} + 15$

Étape 3.3.2.1.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + {(- 2)}^{3} + 15$

Étape 3.3.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} - 8 + 15$

Étape 3.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Écrivez $- 8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} + 15$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 15$

Étape 3.3.2.2.3

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 15$

Étape 3.3.2.2.4

Écrivez $15$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1}$

Étape 3.3.2.2.5

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.2.2.6

Multipliez $\frac{15}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{4 - 8 \cdot 3 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 24 + 15 \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.2.4.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 24 + 45}{3}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.5.1

Soustrayez $24$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 20 + 45}{3}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 20$ et $45$ .

$f (- 2) = \frac{25}{3}$

Étape 3.3.2.6

La réponse finale est $\frac{25}{3}$ .

$\frac{25}{3}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - 2 x^{2} + 15$ est $(- 2, \frac{25}{3})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, \frac{25}{3})$

Étape 3.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(2, \frac{25}{3}), (- 2, \frac{25}{3})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = {(- 2.1)}^{2} - 4$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = 4.41 - 4$

Étape 5.2.2

Soustrayez $4$ de $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 0.41$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0.41$ .

$0.41$

Étape 5.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $0.41$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 4$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Étape 6.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 6.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 4$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, 2)$

Diminue sur $(- 2, 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.1$ dans l’expression.

$f'' (2.1) = {(2.1)}^{2} - 4$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Élevez $2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.1) = 4.41 - 4$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4$ de $4.41$ .

$f'' (2.1) = 0.41$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $0.41$ .

$0.41$

Étape 7.3

Sur $2.1$ , la dérivée seconde est $0.41$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, \frac{25}{3}), (2, \frac{25}{3})$ .

$(- 2, \frac{25}{3}), (2, \frac{25}{3})$

Étape 9