Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x - 1)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + 0)$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \cdot 1$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(x - 1)}^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{3})$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 1.2.3

Différenciez.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Étape 1.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 1.2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)$

Étape 1.2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} \cdot 1$

Étape 1.2.3.5.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 {(x - 1)}^{2}$ .

$12 {(x - 1)}^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$12 {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $12$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ par $12$ .

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez ${(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{12}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $0$ par $12$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $1$ dans $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {((1) - 1)}^{4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = 0^{4}$

Étape 3.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $1$ dans $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ est $(1, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1, 0)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0.9$ dans l’expression.

$f'' (0.9) = 12 {((0.9) - 1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ de $0.9$ .

$f'' (0.9) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Étape 5.2.2

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.9) = 12 \cdot 0.01$

Étape 5.2.3

Multipliez $12$ par $0.01$ .

$f'' (0.9) = 0.12$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $0.12$ .

$0.12$

Étape 5.3

Sur $0.9$ , la dérivée seconde est $0.12$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, 1)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.1$ dans l’expression.

$f'' (1.1) = 12 {((1.1) - 1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $1$ de $1.1$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot {0.1}^{2}$

Étape 6.2.2

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 0.01$

Étape 6.2.3

Multipliez $12$ par $0.01$ .

$f'' (1.1) = 0.12$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $0.12$ .

$0.12$

Étape 6.3

Sur $1.1$ , la dérivée seconde est $0.12$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Aucun point du graphe ne respecte ces exigences.

Aucun point d’inflexion