Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Étape 1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3} e^{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Étape 1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 1.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $e^{x} (4 x^{3})$ et $4 x^{3} e^{x}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Additionnez $4 x^{3} e^{x}$ et $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Étape 1.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Étape 1.2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{4} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $8 x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 8 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $8$ .

$2, 6$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.7

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 2.7.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, - 6$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{4} e^{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} e^{0}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Étape 3.1.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{4} e^{x}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = x^{4} e^{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = 16 e^{- 2}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 3.3.2.3

Associez $16$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{16}{e^{2}}$

Étape 3.3.2.4

La réponse finale est $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = x^{4} e^{x}$ est $(- 2, \frac{16}{e^{2}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Étape 3.5

Remplacez $- 6$ dans $f (x) = x^{4} e^{x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $4$ .

$f (- 6) = 1296 e^{- 6}$

Étape 3.5.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}})$

Étape 3.5.2.3

Associez $1296$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f (- 6) = \frac{1296}{e^{6}}$

Étape 3.5.2.4

La réponse finale est $\frac{1296}{e^{6}}$ .

$\frac{1296}{e^{6}}$

Étape 3.6

Le point trouvé en remplaçant $- 6$ dans $f (x) = x^{4} e^{x}$ est $(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Étape 3.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{e^{2}}), (- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6.1$ dans l’expression.

$f'' (- 6.1) = {(- 6.1)}^{4} e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 6.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 (\frac{1}{e^{6.1}}) + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.3

Associez $1384.5841$ et $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{e^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.4

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{{2.71828182}^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.5

Élevez $2.71828182$ à la puissance $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{445.85777008} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.6

Divisez $1384.5841$ par $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.7

Élevez $- 6.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 \cdot (- 226.981 e^{- 6.1}) + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.8

Multipliez $8$ par $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 \frac{1}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.10

Associez $- 1815.848$ et $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + \frac{- 1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.12

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{{2.71828182}^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.13

Élevez $2.71828182$ à la puissance $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{445.85777008} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.14

Divisez $1815.848$ par $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1 \cdot 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.15

Multipliez $- 1$ par $4.07270686$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.16

Élevez $- 6.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 \cdot (37.21 e^{- 6.1})$

Étape 5.2.1.17

Multipliez $12$ par $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 e^{- 6.1}$

Étape 5.2.1.18

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 (\frac{1}{e^{6.1}})$

Étape 5.2.1.19

Associez $446.52$ et $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{e^{6.1}}$

Étape 5.2.1.20

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{{2.71828182}^{6.1}}$

Étape 5.2.1.21

Élevez $2.71828182$ à la puissance $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{445.85777008}$

Étape 5.2.1.22

Divisez $446.52$ par $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 1.00148529$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $4.07270686$ de $3.10543898$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.96726787 + 1.00148529$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 0.96726787$ et $1.00148529$ .

$f'' (- 6.1) = 0.03421741$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0.03421741$ .

$0.03421741$

Étape 5.3

Sur $- 6.1$ , la dérivée seconde est $0.03421741$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 6)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 6)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 6, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.3

Associez $256$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $8$ par $- 64$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.7

Associez $- 512$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Étape 6.2.1.9

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $12$ par $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

Étape 6.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

Étape 6.2.1.12

Associez $192$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

Soustrayez $512$ de $256$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez $- 256$ et $192$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

Étape 6.2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{64}{e^{4}}$ .

$- \frac{64}{e^{4}}$

Étape 6.3

Sur $- 4$ , la dérivée seconde est $- 1.17220088$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 6, - 2)$

Diminue sur $(- 6, - 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $e^{- 1}$ par $1$ .

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 7.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 7.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 7.2.1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 7.2.1.7

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 7.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Étape 7.2.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

Étape 7.2.1.10

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

Étape 7.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

Étape 7.2.1.12

Associez $12$ et $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

Étape 7.2.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

Étape 7.2.2.2.2

Additionnez $- 7$ et $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $\frac{5}{e}$ .

$\frac{5}{e}$

Étape 7.3

Sur $- 1$ , la dérivée seconde est $1.8393972$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 2, 0)$ .

Augmente sur $(- 2, 0)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.1$ dans l’expression.

$f'' (0.1) = {(0.1)}^{4} e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (0.1) = 0.0001 e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $0.0001$ par $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $0.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 \cdot (0.001 e^{0.1}) + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $8$ par $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.008 e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $0.008$ par $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Étape 8.2.1.6

Élevez $0.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 \cdot (0.01 e^{0.1})$

Étape 8.2.1.7

Multipliez $12$ par $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.12 e^{0.1}$

Étape 8.2.1.8

Multipliez $0.12$ par $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.13262051$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $0.00011051$ et $0.00884136$ .

$f'' (0.1) = 0.00895188 + 0.13262051$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0.00895188$ et $0.13262051$ .

$f'' (0.1) = 0.14157239$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.14157239$ .

$0.14157239$

Étape 8.3

Sur $0.1$ , la dérivée seconde est $0.14157239$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$ .

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Étape 10