Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3}{5} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Comme $\frac{3}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.8

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.9

Placez ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot (\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

Étape 2.1.10

Multipliez $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{3}{5}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 2.1.11

Multipliez.

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Étape 2.1.11.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 2.1.11.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{6}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 2.1.12

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 2.1.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.13.1

Factorisez $3$ à partir de $15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2)}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 2.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 2.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Étape 2.1.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 2.1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Étape 2.1.16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Étape 2.1.17

Associez les fractions.

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Étape 2.1.17.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 x)$

Étape 2.1.17.2

Associez $2$ et $\frac{2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Étape 2.1.17.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x$

Étape 2.1.17.4

Associez $\frac{4}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{5 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.3.3

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.8.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.9

Associez les fractions.

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Étape 2.2.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.9.3

Placez ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.9.4

Associez $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.13

Associez les fractions.

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Étape 2.2.13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.13.3

Associez $- 2$ et $\frac{x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.13.4

Associez $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} - \frac{(2) x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.19

Pour écrire ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.20

Associez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.22

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.22.1

Déplacez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.22.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.22.5

Divisez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.23

Simplifiez ${(x^{2} - 1)}^{1} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 1) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.24

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.25

Réécrivez $\frac{\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Étape 2.2.26

Multipliez $\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.27

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ par ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.27.1

Déplacez ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Étape 2.2.27.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Étape 2.2.27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Étape 2.2.27.4

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.28

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{5 (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Étape 2.2.29

Multipliez $3$ par $5$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 1) - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30

Simplifiez

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Étape 2.2.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 1 - 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.30.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.30.3.1.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 1) + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30.3.1.2

Multipliez $4 (3 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.2.30.3.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 3 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30.3.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 12 - 8 x^{2}}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30.3.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 12$ .

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Étape 2.2.30.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 12}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 3}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.30.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 \cdot - 3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{15 {(x^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (x^{2} - 3) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (x^{2} - 3) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (x^{2} - 3) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x^{2} - 3)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2} - 3$ par $1$ .

$x^{2} - 3 = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 3.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 3.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 3.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(\sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.2.2

Associez $\frac{3}{5}$ et $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ est $(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Étape 4.3

Remplacez $- \sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- \sqrt{3})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(1 {\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({\sqrt{3}}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3^{\frac{2}{2}} - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot {(3 - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3}{5} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.3.2.2.2

Associez $\frac{3}{5}$ et $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- \sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{3}{5} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ est $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.8320508$ dans l’expression.

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1.8320508$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $3$ de $3.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({(- 1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 1.8320508$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $2.35641016$ à la puissance $\frac{4}{3}$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $4$ par $0.35641016$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $15$ par $3.13570007$ .

$f'' (- 1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

Étape 6.2.3.3

Divisez $1.42564064$ par $47.03550106$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.03030988$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $0.03030988$ .

$0.03030988$

Étape 6.3

Sur $- 1.8320508$ , la dérivée seconde est $0.03030988$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Augmente sur $(- \infty, - \sqrt{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = \frac{4 ({(0)}^{2} - 3)}{15 {({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 (0 - 3)}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $3$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(0 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 7.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 7.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Étape 7.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 {(- 1)}^{4}}$

Étape 7.2.2.6

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 3}{15 \cdot 1}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f'' (0) = \frac{- 12}{15 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $15$ par $1$ .

$f'' (0) = \frac{- 12}{15}$

Étape 7.2.3.3

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $15$ .

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Étape 7.2.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$f'' (0) = \frac{3 (- 4)}{15}$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

Étape 7.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (0) = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 5}$

Étape 7.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (0) = \frac{- 4}{5}$

Étape 7.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (0) = - \frac{4}{5}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{4}{5}$ .

$- \frac{4}{5}$

Étape 7.3

Sur $0$ , la dérivée seconde est $- 0.8$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Diminue sur $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.8320508$ dans l’expression.

$f'' (1.8320508) = \frac{4 ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{15 {({(1.8320508)}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $1.8320508$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 (3.35641016 - 3)}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.1.2

Soustrayez $3$ de $3.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {({1.8320508}^{2} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $1.8320508$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 {(3.35641016 - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot {2.35641016}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $2.35641016$ à la puissance $\frac{4}{3}$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{4 \cdot 0.35641016}{15 \cdot 3.13570007}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $4$ par $0.35641016$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{15 \cdot 3.13570007}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $15$ par $3.13570007$ .

$f'' (1.8320508) = \frac{1.42564064}{47.03550106}$

Étape 8.2.3.3

Divisez $1.42564064$ par $47.03550106$ .

$f'' (1.8320508) = 0.03030988$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $0.03030988$ .

$0.03030988$

Étape 8.3

Sur $1.8320508$ , la dérivée seconde est $0.03030988$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(\sqrt{3}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$ .

$(- \sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5}), (\sqrt{3}, \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5})$

Étape 10