Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $16$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{16 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{16 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.4

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.5

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.7

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.10.1.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\frac{16 e^{0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{16 \cdot 1 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.1.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.1.4

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{16 - 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.1.5

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.1.7

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Étape 1.2.10.1.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{16 - 16 + 0 + 0 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.1.7.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16 - 16 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.2

Soustrayez $16$ de $16$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.2.10.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Étape 1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 e^{\frac{x}{4}}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.6

Associez $e^{\frac{x}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.7

Associez $16$ et $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{16 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.8

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 3.3.8.1

Factorisez $4$ à partir de $16 e^{\frac{x}{4}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.8.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.3.8.2.4

Divisez $4 e^{\frac{x}{4}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.4

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6.5

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.6.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.6.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 (1)}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- x}{1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.6.6.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Additionnez $4 e^{\frac{x}{4}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{3 x^{2}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.7.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.7.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.7.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.2.7.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Étape 5.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 5.3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{\frac{x}{4}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.6

Associez $e^{\frac{x}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.7

Associez $4$ et $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.4.8.2

Divisez $e^{\frac{x}{4}}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.6

Additionnez $- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ et $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 5.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{2 x}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 1 + e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 7.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 7.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 7.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 7.1.2.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 7.1.2.1.4

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 7.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 7.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 7.1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 7.1.2.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 7.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Étape 7.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Étape 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

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Étape 7.3.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Étape 7.3.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.4.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.4.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.4.5

Associez $e^{\frac{x}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 7.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{1}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}$

Étape 8.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}$

Étape 8.3

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}$

Étape 9

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Étape 10.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Étape 10.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{1}{24} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\frac{1}{24} e^{0}$

Étape 10.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{24} \cdot 1$

Étape 10.5

Multipliez $\frac{1}{24}$ par $1$ .

$\frac{1}{24}$