Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{5}{x}$ ; $[1, 10]$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{5}{x} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{5}{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 = 0$

Étape 1.2.2

Comme $5 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{1}^{10} \frac{5}{x} d x - \int_{1}^{10} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $1$ et $10$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{1}^{10} \frac{5}{x} - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $\frac{5}{x}$ .

$\int_{1}^{10} \frac{5}{x} d x$

Étape 3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int_{1}^{10} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$5 (\ln (| x |)]_{1}^{10})$

Étape 3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.5.1

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $10$ et sur $1$ .

$5 (\ln (| 10 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 3.5.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \ln (\frac{| 10 |}{| 1 |})$

Étape 3.5.3

Simplifiez

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Étape 3.5.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $10$ est $10$ .

$5 \ln (\frac{10}{| 1 |})$

Étape 3.5.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$5 \ln (\frac{10}{1})$

Étape 3.5.3.3

Divisez $10$ par $1$ .

$5 \ln (10)$

Étape 4

Additionnez les aires $5 \ln (10)$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $5 \ln (10)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\ln (10^{5})$

Étape 4.2

Élevez $10$ à la puissance $5$ .

$\ln (100000)$

Étape 5