Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} - 10 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{4})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f' (x) = 6 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{4})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 10 \frac{d}{d x} x^{4}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 10 (4 x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 10$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 40 x^{3}$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{5} - 40 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 40 x^{3})$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 40 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 40 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 40 \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 40 (3 x^{2})$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $3$ par $- 40$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 x^{2}$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $30 x^{4} - 120 x^{2}$ .

$30 x^{4} - 120 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $30 x^{4} - 120 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$30 x^{4} - 120 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$30 {(x^{2})}^{2} - 120 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$30 u^{2} - 120 u = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $30 u$ à partir de $30 u^{2} - 120 u$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $30 u$ à partir de $30 u^{2}$ .

$30 u (u) - 120 u = 0$

Étape 2.2.3.2

Factorisez $30 u$ à partir de $- 120 u$ .

$30 u (u) + 30 u (- 4) = 0$

Étape 2.2.3.3

Factorisez $30 u$ à partir de $30 u (u) + 30 u (- 4)$ .

$30 u (u - 4) = 0$

Étape 2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$30 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.5.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $30 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 2$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $0$ dans $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{6} - 10 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 10 {(0)}^{4}$

Étape 3.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 - 10 \cdot 0$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $0$ dans $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ est $(0, 0)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(0, 0)$

Étape 3.3

Remplacez $2$ dans $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{6} - 10 {(2)}^{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$f (2) = 64 - 10 {(2)}^{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = 64 - 10 \cdot 16$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $16$ .

$f (2) = 64 - 160$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $160$ de $64$ .

$f (2) = - 96$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 96$ .

$- 96$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $2$ dans $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ est $(2, - 96)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2, - 96)$

Étape 3.5

Remplacez $- 2$ dans $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {(- 2)}^{6} - 10 {(- 2)}^{4}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$f (- 2) = 64 - 10 {(- 2)}^{4}$

Étape 3.5.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f (- 2) = 64 - 10 \cdot 16$

Étape 3.5.2.1.3

Multipliez $- 10$ par $16$ .

$f (- 2) = 64 - 160$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $160$ de $64$ .

$f (- 2) = - 96$

Étape 3.5.2.3

La réponse finale est $- 96$ .

$- 96$

Étape 3.6

Le point trouvé en remplaçant $- 2$ dans $f (x) = x^{6} - 10 x^{4}$ est $(- 2, - 96)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2, - 96)$

Étape 3.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(0, 0), (2, - 96), (- 2, - 96)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.1$ dans l’expression.

$f'' (- 2.1) = 30 {(- 2.1)}^{4} - 120 {(- 2.1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 2.1) = 30 \cdot 19.4481 - 120 {(- 2.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $30$ par $19.4481$ .

$f'' (- 2.1) = 583.443 - 120 {(- 2.1)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2.1) = 583.443 - 120 \cdot 4.41$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 120$ par $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 583.443 - 529.2$

Étape 5.2.2

Soustrayez $529.2$ de $583.443$ .

$f'' (- 2.1) = 54.243$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $54.243$ .

$54.243$

Étape 5.3

Sur $- 2.1$ , la dérivée seconde est $54.243$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = 30 {(- 1)}^{4} - 120 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 1) = 30 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $30$ par $1$ .

$f'' (- 1) = 30 - 120 {(- 1)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = 30 - 120 \cdot 1$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 120$ par $1$ .

$f'' (- 1) = 30 - 120$

Étape 6.2.2

Soustrayez $120$ de $30$ .

$f'' (- 1) = - 90$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 90$ .

$- 90$

Étape 6.3

Sur $- 1$ , la dérivée seconde est $- 90$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2, 0)$

Diminue sur $(- 2, 0)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = 30 {(1)}^{4} - 120 {(1)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = 30 \cdot 1 - 120 {(1)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $30$ par $1$ .

$f'' (1) = 30 - 120 {(1)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f'' (1) = 30 - 120 \cdot 1$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 120$ par $1$ .

$f'' (1) = 30 - 120$

Étape 7.2.2

Soustrayez $120$ de $30$ .

$f'' (1) = - 90$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 90$ .

$- 90$

Étape 7.3

Sur $1$ , la dérivée seconde est $- 90$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(0, 2)$

Diminue sur $(0, 2)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.1$ dans l’expression.

$f'' (2.1) = 30 {(2.1)}^{4} - 120 {(2.1)}^{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2.1$ à la puissance $4$ .

$f'' (2.1) = 30 \cdot 19.4481 - 120 {(2.1)}^{2}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $30$ par $19.4481$ .

$f'' (2.1) = 583.443 - 120 {(2.1)}^{2}$

Étape 8.2.1.3

Élevez $2.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.1) = 583.443 - 120 \cdot 4.41$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 120$ par $4.41$ .

$f'' (2.1) = 583.443 - 529.2$

Étape 8.2.2

Soustrayez $529.2$ de $583.443$ .

$f'' (2.1) = 54.243$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $54.243$ .

$54.243$

Étape 8.3

Sur $2.1$ , la dérivée seconde est $54.243$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 96), (2, - 96)$ .

$(- 2, - 96), (2, - 96)$

Étape 10