Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3}{x}$ , $y = 12 x$ , $y = \frac{1}{3} x$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\frac{3}{x} = 12 x$

Étape 1.2

Résolvez $\frac{3}{x} = 12 x$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1 + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{3}{x} = 12 x$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3}{x} = 12 x$ par $x$ .

$\frac{3}{x} \cdot x = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x} \cdot x = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x \cdot x + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1.1

Déplacez $x$ .

$3 = 12 (x \cdot x) + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$3 = 12 x^{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $12 x^{2} = 3$ .

$12 x^{2} = 3 + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 3$ par $12$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $12 x^{2} = 3$ par $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{3}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{2} = \frac{3 (1)}{12} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x^{2} = \frac{1}{4} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.4.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \pm \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + y = 12 x$

$y = \frac{1}{3} x$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = 12 (\frac{1}{2}) y = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y = 2 (6) \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \cdot 6 \frac{1}{2}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 6$

Étape 1.4

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ dans $y = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2})$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{3 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \frac{1}{6}$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ .

$y = 12 (- \frac{1}{2}) y = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

Étape 1.5.2

Simplifiez $12 (- \frac{1}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y = 12 (\frac{- 1}{2})$

Étape 1.5.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$y = 2 (6) \frac{- 1}{2}$

Étape 1.5.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \cdot 6 \frac{- 1}{2}$

Étape 1.5.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = 6 \cdot - 1$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$y = - 6$

Étape 1.6

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ dans $y = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$ et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{3} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Étape 1.6.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.1

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (- (\frac{1}{2}))$

Étape 1.6.2.2

Multipliez $\frac{1}{3} (- \frac{1}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Étape 1.6.2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Étape 1.7

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6})$

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{6})$

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{6})$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x d x - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x - (\frac{3}{x}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $\frac{3}{x}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x - \frac{3}{x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 12 x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Étape 3.4

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) + \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x} d x$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x} d x$

Étape 3.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - (3 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Étape 3.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 3 \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

Étape 3.10

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2}]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}) - 3 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $- \frac{1}{2}$ .

$12 ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| x |)]_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3.11.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $- \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- (\frac{1}{2}))}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{1}{2})$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.4

Multipliez ${(\frac{1}{2})}^{2}$ par $1$ .

$12 (\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1.3.6.1

Divisez $1$ par $2$ .

$12 \frac{{0.5}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.2

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$12 \frac{0.25 - {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.3

Divisez $1$ par $2$ .

$12 \frac{0.25 - {0.5}^{2}}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$12 \frac{0.25 - 1 \cdot 0.25}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.5

Multipliez $- 1$ par $0.25$ .

$12 \frac{0.25 - 0.25}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.6.6

Soustrayez $0.25$ de $0.25$ .

$12 (\frac{0}{2}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$12 \frac{2 \cdot 0}{2} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$12 \frac{2 \cdot 0}{2 (1)} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$12 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$12 (\frac{0}{1}) - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.7.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$12 \cdot 0 - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.8

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 - 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.1.3.9

Soustrayez $3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$ de $0$ .

$- 3 (\ln (| \frac{1}{2} |) - \ln (| - \frac{1}{2} |))$

Étape 3.11.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 3 \ln (\frac{| \frac{1}{2} |}{| - \frac{1}{2} |})$

Étape 3.11.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.3.1

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{| - \frac{1}{2} |})$

Étape 3.11.3.2

$- \frac{1}{2}$ est d’environ $- 0.5$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{1}{2}$ et retirez la valeur absolue

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Étape 3.11.3.3

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 3 \ln (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})$

Étape 3.11.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 3 \ln (1)$

Étape 3.11.3.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 3 \cdot 0$

Étape 3.11.3.5

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$0$

Étape 4