Calcul infinitésimal Exemples

$arccsc (- 9 t^{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = arccsc (t)$ et $g (t) = - 9 t^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 9 t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $arccsc (u)$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 9 t^{2}$ .

$- \frac{1}{- 9 t^{2} \sqrt{{(- 9 t^{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 t^{2}$ .

$- \frac{1}{- 9 t^{2} \sqrt{{(- 9 (t^{2}))}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 9 (t^{2})$ .

$- \frac{1}{- 9 t^{2} \sqrt{{(- 9)}^{2} {(t^{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 2.2.2

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{- 9 t^{2} \sqrt{81 {(t^{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{- 9 t^{2} \sqrt{81 t^{2 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{- 9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 2.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{1}{9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{1}{9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}}$ par $1$ .

$\frac{1}{9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} \frac{d}{d t} [- 9 t^{2}]$

Étape 2.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 9 t^{2}$ par rapport à $t$ est $- 9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} (- 9 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Étape 2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.1

Associez $- 9$ et $\frac{1}{9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}}$ .

$\frac{- 9}{9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 (t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1})} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 (t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1})} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} (2 t)$

Étape 2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} t$

Étape 2.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}}$ .

$\frac{- 2}{t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}} t$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{- 2}{t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}}$ et $t$ .

$\frac{- 2 t}{t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun à $t$ et $t^{2}$ .

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Étape 2.6.4.1

Factorisez $t$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{t \cdot - 2}{t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}}$

Étape 2.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.4.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} \sqrt{81 t^{4} - 1}$ .

$\frac{t \cdot - 2}{t (t \sqrt{81 t^{4} - 1})}$

Étape 2.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \cdot - 2}{t (t \sqrt{81 t^{4} - 1})}$

Étape 2.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{t \sqrt{81 t^{4} - 1}}$

Étape 2.6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{t \sqrt{81 t^{4} - 1}}$