Calcul infinitésimal Exemples

$- 2 \cos (\sqrt{t}) + \frac{1}{2} t$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \cos (\sqrt{t}) + \frac{1}{2} t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [- 2 \cos (\sqrt{t})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 \cos (\sqrt{t})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- 2 \cos (\sqrt{t})]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [- 2 \cos (t^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2 \cos (t^{\frac{1}{2}})$ par rapport à $t$ est $- 2 \frac{d}{d t} [\cos (t^{\frac{1}{2}})]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [\cos (t^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \cos (t)$ et $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \sin (t^{\frac{1}{2}}) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.11

Associez $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $\sin (t^{\frac{1}{2}})$ .

$- 2 (- \frac{t^{- \frac{1}{2}} \sin (t^{\frac{1}{2}})}{2}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.12

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.13

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.14

Associez $2$ et $\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 \sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.15

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 2.16

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$ .

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{1}{2} t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{\sin (t^{\frac{1}{2}})}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2}$