Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{- 2.5 x^{2}}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2.5 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2.5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2.5 x^{2}$ .

$f' (x) = e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 2.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{- 2.5 x^{2}} (- 2.5 \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = e^{- 2.5 x^{2}} (- 2.5 (2 x))$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 2.5$ .

$f' (x) = e^{- 2.5 x^{2}} (- 5 x)$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- 2.5 x^{2}} (- 5 x)$ .

$f' (x) = - 5 e^{- 2.5 x^{2}} x$

Étape 1.1.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 5 e^{- 2.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 5 x e^{- 2.5 x^{2}}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x e^{- 2.5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x e^{- 2.5 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} (x e^{- 2.5 x^{2}})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 5 (x \frac{d}{d x} (e^{- 2.5 x^{2}}) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2.5 x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2.5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2.5 x^{2})) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.4

Différenciez.

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Étape 1.1.2.4.1

Comme $- 2.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{- 2.5 x^{2}} (- 2.5 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{- 2.5 x^{2}} (- 2.5 (2 x))) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.4.3

Multipliez $2$ par $- 2.5$ .

$f'' (x) = - 5 (x (e^{- 2.5 x^{2}} (- 5 x)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x \cdot x (e^{- 2.5 x^{2}} \cdot (- 5)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x \cdot x (e^{- 2.5 x^{2}} \cdot (- 5)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 5 (x^{1 + 1} (e^{- 2.5 x^{2}} \cdot (- 5)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (e^{- 2.5 x^{2}} \cdot (- 5)) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.8.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (- 5 \cdot e^{- 2.5 x^{2}}) + e^{- 2.5 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (- 5 e^{- 2.5 x^{2}}) + e^{- 2.5 x^{2}} \cdot 1)$

Étape 1.1.2.10

Multipliez $e^{- 2.5 x^{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (- 5 e^{- 2.5 x^{2}}) + e^{- 2.5 x^{2}})$

Étape 1.1.2.11

Simplifiez

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Étape 1.1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 5 (x^{2} (- 5 e^{- 2.5 x^{2}})) - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Étape 1.1.2.11.2

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$f'' (x) = 25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Étape 1.1.2.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 25 e^{- 2.5 x^{2}} x^{2} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Étape 1.1.2.11.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $25 e^{- 2.5 x^{2}} x^{2} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $5 e^{- 2.5 x^{2}}$ à partir de $25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}} - 5 e^{- 2.5 x^{2}}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $5 e^{- 2.5 x^{2}}$ à partir de $25 x^{2} e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} (5 x^{2}) - 5 e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $5 e^{- 2.5 x^{2}}$ à partir de $- 5 e^{- 2.5 x^{2}}$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} (5 x^{2}) + 5 e^{- 2.5 x^{2}} (- 1) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $5 e^{- 2.5 x^{2}}$ à partir de $5 e^{- 2.5 x^{2}} (5 x^{2}) + 5 e^{- 2.5 x^{2}} (- 1)$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} (5 x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $5 x^{2}$ comme ${(2.23606797 x)}^{2}$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} ({(2.23606797 x)}^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} ({(2.23606797 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez.

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Étape 1.2.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2.23606797 x$ et $b = 1$ .

$5 e^{- 2.5 x^{2}} ((2.23606797 x + 1) (2.23606797 x - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$5 e^{- 2.5 x^{2}} (2.23606797 x + 1) (2.23606797 x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

$2.23606797 x + 1 = 0$

$2.23606797 x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $e^{- 2.5 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $e^{- 2.5 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $e^{- 2.5 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 1.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 2.5 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 1.2.5

Définissez $2.23606797 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $2.23606797 x + 1$ égal à $0$ .

$2.23606797 x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $2.23606797 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2.23606797 x = - 1$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2.23606797 x = - 1$ par $2.23606797$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2.23606797 x = - 1$ par $2.23606797$ .

$\frac{2.23606797 x}{2.23606797} = \frac{- 1}{2.23606797}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2.23606797$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2.23606797 x}{2.23606797} = \frac{- 1}{2.23606797}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2.23606797}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $2.23606797$ .

$x = - 0.44721359$

Étape 1.2.6

Définissez $2.23606797 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $2.23606797 x - 1$ égal à $0$ .

$2.23606797 x - 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $2.23606797 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2.23606797 x = 1$

Étape 1.2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2.23606797 x = 1$ par $2.23606797$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2.23606797 x = 1$ par $2.23606797$ .

$\frac{2.23606797 x}{2.23606797} = \frac{1}{2.23606797}$

Étape 1.2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2.23606797$ .

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Étape 1.2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2.23606797 x}{2.23606797} = \frac{1}{2.23606797}$

Étape 1.2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2.23606797}$

Étape 1.2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.3.1

Divisez $1$ par $2.23606797$ .

$x = 0.44721359$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 e^{- 2.5 x^{2}} (2.23606797 x + 1) (2.23606797 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 0.44721359, 0.44721359$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 0.44721359) \cup (- 0.44721359, 0.44721359) \cup (0.44721359, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 0.44721359)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = 25 {(- 3)}^{2} e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = 25 \cdot (9 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}) - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $25$ par $9$ .

$f'' (- 3) = 225 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = 225 e^{- 2.5 \cdot 9} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 2.5$ par $9$ .

$f'' (- 3) = 225 e^{- 22.5} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = 225 (\frac{1}{e^{22.5}}) - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.1.6

Associez $225$ et $\frac{1}{e^{22.5}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{225}{e^{22.5}} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 3) = \frac{225}{{2.71828182}^{22.5}} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $22.5$ .

$f'' (- 3) = \frac{225}{5910522063.02304} - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.1.9

Divisez $225$ par $5910522063.02304$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 5 e^{- 2.5 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.1.10

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 5 e^{- 2.5 \cdot 9}$

Étape 4.2.1.11

Multipliez $- 2.5$ par $9$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 5 e^{- 22.5}$

Étape 4.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 5 \frac{1}{e^{22.5}}$

Étape 4.2.1.13

Associez $- 5$ et $\frac{1}{e^{22.5}}$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 + \frac{- 5}{e^{22.5}}$

Étape 4.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 3) = 0.00000003 - \frac{5}{e^{22.5}}$

Étape 4.2.1.15

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 3) = 0.00000003 - \frac{5}{{2.71828182}^{22.5}}$

Étape 4.2.1.16

Élevez $2.71828182$ à la puissance $22.5$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - \frac{5}{5910522063.02304}$

Étape 4.2.1.17

Divisez $5$ par $5910522063.02304$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 - 1 \cdot 0$

Étape 4.2.1.18

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $0$ de $0.00000003$ .

$f'' (- 3) = 0.00000003$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $0.00000003$ .

$0.00000003$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 0.44721359)$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 0.44721359)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 0.44721359, 0.44721359)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 25 {(0)}^{2} e^{- 2.5 {(0)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 25 \cdot (0 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}) - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $25$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2.5 {(0)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2.5 \cdot 0} - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 2.5$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Étape 5.2.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 5 e^{- 2.5 {(0)}^{2}}$

Étape 5.2.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 0 - 5 e^{- 2.5 \cdot 0}$

Étape 5.2.1.8

Multipliez $- 2.5$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 5 e^{0}$

Étape 5.2.1.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 - 5 \cdot 1$

Étape 5.2.1.10

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 5$

Étape 5.2.2

Soustrayez $5$ de $0$ .

$f'' (0) = - 5$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 0.44721359, 0.44721359)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 0.44721359, 0.44721359)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0.44721359, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f'' (3) = 25 {(3)}^{2} e^{- 2.5 {(3)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 25 \cdot (9 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}) - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $25$ par $9$ .

$f'' (3) = 225 e^{- 2.5 {(3)}^{2}} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 225 e^{- 2.5 \cdot 9} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 2.5$ par $9$ .

$f'' (3) = 225 e^{- 22.5} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 225 (\frac{1}{e^{22.5}}) - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.6

Associez $225$ et $\frac{1}{e^{22.5}}$ .

$f'' (3) = \frac{225}{e^{22.5}} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.7

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (3) = \frac{225}{{2.71828182}^{22.5}} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.8

Élevez $2.71828182$ à la puissance $22.5$ .

$f'' (3) = \frac{225}{5910522063.02304} - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.9

Divisez $225$ par $5910522063.02304$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 5 e^{- 2.5 {(3)}^{2}}$

Étape 6.2.1.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 5 e^{- 2.5 \cdot 9}$

Étape 6.2.1.11

Multipliez $- 2.5$ par $9$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 5 e^{- 22.5}$

Étape 6.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 5 \frac{1}{e^{22.5}}$

Étape 6.2.1.13

Associez $- 5$ et $\frac{1}{e^{22.5}}$ .

$f'' (3) = 0.00000003 + \frac{- 5}{e^{22.5}}$

Étape 6.2.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (3) = 0.00000003 - \frac{5}{e^{22.5}}$

Étape 6.2.1.15

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (3) = 0.00000003 - \frac{5}{{2.71828182}^{22.5}}$

Étape 6.2.1.16

Élevez $2.71828182$ à la puissance $22.5$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - \frac{5}{5910522063.02304}$

Étape 6.2.1.17

Divisez $5$ par $5910522063.02304$ .

$f'' (3) = 0.00000003 - 1 \cdot 0$

Étape 6.2.1.18

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f'' (3) = 0.00000003 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $0$ de $0.00000003$ .

$f'' (3) = 0.00000003$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.00000003$ .

$0.00000003$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0.44721359, \infty)$ car $f'' (3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0.44721359, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 0.44721359)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 0.44721359, 0.44721359)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0.44721359, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8