Calcul infinitésimal Exemples

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.8

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.11

Multipliez $3 (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.11.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Étape 2.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 2.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 2.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 2.1.14

Factorisez $i^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 2.1.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 2.1.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 2.1.18

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

Étape 2.1.19

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

Étape 2.1.20

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

Étape 2.1.21

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.21.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

Étape 2.1.21.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Étape 2.1.22

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

Étape 2.1.23

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $9$ de $1$ .

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 3 i \sqrt{3}$ et $3 i \sqrt{3}$ .

$0 - 8$

Étape 2.2.3

Soustrayez $8$ de $0$ .

$- 8$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 8$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 64}$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $64$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Étape 6.4

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 8$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 8})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{- 8}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $π$ .

$θ = π$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = π$ et $| z | = 8$ .

$8 (\cos (π) + i \sin (π))$