Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

Étape 1

Pour déterminer le volume du solide, commencez par définir l’aire de chaque coupe, puis intégrez sur la plage. L’aire de chaque coupe est l’aire d’un cercle avec un rayon de $f (x)$ et $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ où $f (x) = \sqrt[3]{x}$

Étape 2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$V = \sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$V = π \int_{0}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $x^{\frac{5}{3}}$ .

$V = π \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{1}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ sur $1$ et sur $0$ .

$V = π ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$V = π (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 5.2.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 5.2.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Étape 5.2.2.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Étape 5.2.2.7

Multipliez $3$ par $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{5})$

Étape 5.2.2.8

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 5.2.2.8.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

Étape 5.2.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 5.2.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Étape 5.2.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$V = π (\frac{3}{5} - \frac{0}{1})$

Étape 5.2.2.8.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$V = π (\frac{3}{5} - 0)$

Étape 5.2.2.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$V = π (\frac{3}{5} + 0)$

Étape 5.2.2.10

Additionnez $\frac{3}{5}$ et $0$ .

$V = π (\frac{3}{5})$

Étape 5.2.2.11

Associez $π$ et $\frac{3}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 3}{5}$

Étape 5.2.2.12

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$V = \frac{3 π}{5}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$V = \frac{3 π}{5}$

Forme décimale :

$V = 1.88495559 \dots$

Étape 7