Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Étape 1

Écrivez $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.4

Comme $4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.5.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.6

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5 + 0$

Étape 2.7

Associez des termes.

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Étape 2.7.1

Additionnez $4 x + 3 y$ et $0$ .

$4 x + 3 y - 5 + 0$

Étape 2.7.2

Additionnez $4 x + 3 y - 5$ et $0$ .

$4 x + 3 y - 5$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3 y - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Étape 3.3.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + 0$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = 4$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x + 3 y - 5 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (3 x y) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $3 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + \frac{d}{d x} (4 y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.4

Comme $4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 5.1.5.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.5.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 - 5 + \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 5.1.6

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y + 0 - 5 + 0$

Étape 5.1.7

Associez des termes.

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Étape 5.1.7.1

Additionnez $4 x + 3 y$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y - 5 + 0$

Étape 5.1.7.2

Additionnez $4 x + 3 y - 5$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y - 5$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x + 3 y - 5$ .

$4 x + 3 y - 5$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x + 3 y - 5 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x + 3 y - 5 = 0$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - 5 = - 3 y$

Étape 6.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = - 3 y + 5$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3 y + 5$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3 y + 5$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4$

Étape 10

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 {(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})}^{2} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Réécrivez ${(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})}^{2}$ comme $(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 ((- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.2

Développez $(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.3.1.1

Multipliez $- \frac{3 y}{4} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Étape 11.2.1.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (1 (\frac{3 y}{4}) \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.1.2

Multipliez $\frac{3 y}{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{3 y}{4} \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.1.3

Multipliez $\frac{3 y}{4}$ par $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{3 y (3 y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y \cdot y}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.1.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 (y \cdot y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.1.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

Étape 11.2.1.3.1.1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{1 + 1}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.1.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.2

Multipliez $- \frac{3 y}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Étape 11.2.1.3.1.2.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{5 (3 y)}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{5}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.3

Multipliez $\frac{5}{4} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Étape 11.2.1.3.1.3.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{5 (3 y)}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.3.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.4

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.3.1.4.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.4.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{25}{4 \cdot 4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.1.4.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{16} - \frac{15 y}{16} + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.3.2

Soustrayez $\frac{15 y}{16}$ de $- \frac{15 y}{16}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 2 \frac{15 y}{16} + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 (- 1) (\frac{15 y}{16}) + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{15 y}{2 \cdot 8}) + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.4.1.3

Annulez le facteur commun.

Étape 11.2.1.4.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 1 \frac{15 y}{8} + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.4.2

Réécrivez $- 1 \frac{15 y}{8}$ comme $- \frac{15 y}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{15 y}{8} + \frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16}) + 2 (- \frac{15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6

Simplifiez

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Étape 11.2.1.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 (8)}) + 2 (- \frac{15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 \cdot 8}) + 2 (- \frac{15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (- \frac{15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.6.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{15 y}{8}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 15 y}{8}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6.2.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 15 y}{2 (4)}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 15 y}{2 \cdot 4}) + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 15 y}{4} + 2 (\frac{25}{16}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.1.6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 15 y}{4} + 2 (\frac{25}{2 (8)}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 15 y}{4} + 2 (\frac{25}{2 \cdot 8}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.6.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 15 y}{4} + \frac{25}{8} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (3 (- \frac{3 y}{4}) + 3 (\frac{5}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.9

Multipliez $3 (- \frac{3 y}{4})$ .

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Étape 11.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (- 3 \frac{3 y}{4} + 3 (\frac{5}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.9.2

Associez $- 3$ et $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (\frac{- 3 (3 y)}{4} + 3 (\frac{5}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.9.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (\frac{- 9 y}{4} + 3 (\frac{5}{4})) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.10

Multipliez $3 (\frac{5}{4})$ .

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Étape 11.2.1.10.1

Associez $3$ et $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (\frac{- 9 y}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.10.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (\frac{- 9 y}{4} + \frac{15}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} + (- \frac{9 y}{4} + \frac{15}{4}) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y}{4} \cdot y + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.13

Multipliez $- \frac{9 y}{4} y$ .

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Étape 11.2.1.13.1

Associez $y$ et $\frac{9 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{y (9 y)}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.13.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.13.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.13.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{1 + 1}}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.13.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15}{4} y + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.14

Associez $\frac{15}{4}$ et $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.15

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} - 5 (- \frac{3 y}{4}) - 5 (\frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.16

Multipliez $- 5 (- \frac{3 y}{4})$ .

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Étape 11.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + 5 (\frac{3 y}{4}) - 5 (\frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.16.2

Associez $5$ et $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{5 (3 y)}{4} - 5 (\frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.16.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - 5 (\frac{5}{4}) + 2 y$

Étape 11.2.1.17

Multipliez $- 5 (\frac{5}{4})$ .

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Étape 11.2.1.17.1

Associez $- 5$ et $\frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{4} + 2 y$

Étape 11.2.1.17.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4} + 2 y$

Étape 11.2.1.18

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Étape 11.2.2

Associez les termes opposés dans $\frac{9 y^{2}}{8} - \frac{15 y}{4} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{15 y}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$ .

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $- \frac{15 y}{4}$ et $\frac{15 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + 0 + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $\frac{9 y^{2}}{8} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4}$ et $0$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{25}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Étape 11.2.3

Pour écrire $- \frac{9 y^{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{25}{8} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Étape 11.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.4.1

Multipliez $\frac{9 y^{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{25}{8} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{25}{8} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Étape 11.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{25}{8} + 4 y^{2} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4} + 2 y$

Étape 11.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2 + 25}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 11.2.5.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{9 y^{2} - 18 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 11.2.5.4

Soustrayez $18 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{- 9 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 11.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.6.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{- 9 y^{2} + 5^{2}}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 11.2.6.1.2

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{- {(3 y)}^{2} + 5^{2}}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 11.2.6.1.3

Remettez dans l’ordre $- {(3 y)}^{2}$ et $5^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{5^{2} - {(3 y)}^{2}}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 11.2.6.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = 3 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{(5 + 3 y) (5 - (3 y))}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 11.2.6.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{(5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} + \frac{- 25}{4}$

Étape 11.2.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 4 y^{2} + 2 y + \frac{(5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.7

Pour écrire $4 y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + 4 y^{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{(5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.8

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.8.1

Associez $4 y^{2}$ et $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{4 y^{2} \cdot 8}{8} + \frac{(5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{4 y^{2} \cdot 8 + (5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.9.1

Multipliez $8$ par $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + (5 + 3 y) (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.2

Développez $(5 + 3 y) (5 - 3 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.2.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 (5 - 3 y) + 3 y (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 3 y) + 3 y (5 - 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 + 5 (- 3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.3

Associez les termes opposés dans $5 \cdot 5 + 5 (- 3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (- 3 y)$ .

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Étape 11.2.9.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $5 (- 3 y)$ et $3 y \cdot 5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 - 3 \cdot (5 y) + 3 \cdot (5 y) + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.3.2

Additionnez $- 3 \cdot 5 y$ et $3 \cdot 5 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 + 0 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.3.3

Additionnez $5 \cdot 5$ et $0$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 5 \cdot 5 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.9.4.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 + 3 y (- 3 y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 + 3 \cdot (- 3 y \cdot y)}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.4.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.2.9.4.3.1

Déplacez $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 + 3 \cdot (- 3 (y \cdot y))}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.4.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 + 3 \cdot (- 3 y^{2})}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.4.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{32 y^{2} + 25 - 9 y^{2}}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.9.5

Soustrayez $9 y^{2}$ de $32 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y + \frac{23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.10

Pour écrire $2 y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = 2 y \cdot \frac{8}{8} + \frac{23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.11

Simplifiez les termes.

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Étape 11.2.11.1

Associez $2 y$ et $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{2 y \cdot 8}{8} + \frac{23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.11.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{2 y \cdot 8 + 23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.12.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{16 y + 23 y^{2} + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.12.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25}{8} + \frac{15 y}{4} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.13

Pour écrire $\frac{15 y}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25}{8} + \frac{15 y}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.14

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.14.1

Multipliez $\frac{15 y}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25}{8} + \frac{15 y \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.14.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25}{8} + \frac{15 y \cdot 2}{8} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25 + 15 y \cdot 2}{8} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.16.1

Multipliez $2$ par $15$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 16 y + 25 + 30 y}{8} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.16.2

Additionnez $16 y$ et $30 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25}{8} - \frac{25}{4}$

Étape 11.2.17

Pour écrire $- \frac{25}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25}{8} - \frac{25}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.18

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.18.1

Multipliez $\frac{25}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Étape 11.2.18.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25}{8} - \frac{25 \cdot 2}{8}$

Étape 11.2.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25 - 25 \cdot 2}{8}$

Étape 11.2.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.20.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y + 25 - 50}{8}$

Étape 11.2.20.2

Soustrayez $50$ de $25$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}) = \frac{23 y^{2} + 46 y - 25}{8}$

Étape 11.2.21

La réponse finale est $\frac{23 y^{2} + 46 y - 25}{8}$ .

$y = \frac{23 y^{2} + 46 y - 25}{8}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$ .

$(- \frac{3 y}{4} + \frac{5}{4}, \frac{23 y^{2} + 46 y - 25}{8})$ est un minimum local

Étape 13