Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ et $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{5}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{5}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} u^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.5.2

Soustrayez $5$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{- 2}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{3}{5} \cdot {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.6.2

Associez $\frac{3}{5}$ et ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{3 {(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.6.3

Placez ${(9 - x^{2})}^{- \frac{2}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 1.1.8

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 1.1.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 1.1.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 1.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (- (2 x))$

Étape 1.1.12

Associez les fractions.

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Étape 1.1.12.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot (- 2 x)$

Étape 1.1.12.2

Associez $- 2$ et $\frac{3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 \cdot 3}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot x$

Étape 1.1.12.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} \cdot x$

Étape 1.1.12.4

Associez $\frac{- 6}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$ .

$- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{6 x}{5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 0$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{6 x}{5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{6 x}{5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${(5 \sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{{(9 - x^{2})}^{2}}$ comme ${(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}$ .

${(5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}}$ .

$5^{5} {({(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$3125 {({(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3125 {(9 - x^{2})}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3125 {(9 - x^{2})}^{2} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3125 {(9 - x^{2})}^{2} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.3.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3125 {(3^{2} - x^{2})}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$3125 {((3 + x) (3 - x))}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.1.3

Factorisez.

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Étape 3.3.3.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $(3 + x) (3 - x)$ .

$3125 ({(3 + x)}^{2} {(3 - x)}^{2}) = 0$

Étape 3.3.3.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3125 {(3 + x)}^{2} {(3 - x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(3 + x)}^{2} = 0$

${(3 - x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.3

Définissez ${(3 + x)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Définissez ${(3 + x)}^{2}$ égal à $0$ .

${(3 + x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.3.2

Résolvez ${(3 + x)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.3.2.1

Définissez le $3 + x$ égal à $0$ .

$3 + x = 0$

Étape 3.3.3.3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.3.3.4

Définissez ${(3 - x)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.4.1

Définissez ${(3 - x)}^{2}$ égal à $0$ .

${(3 - x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.4.2

Résolvez ${(3 - x)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.4.2.1

Définissez le $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 3.3.3.4.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.4.2.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 3.3.3.4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.3.3.4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.4.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.3.3.4.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.3.3.4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.4.2.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 3.3.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3125 {(3 + x)}^{2} {(3 - x)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 3, 3$

Étape 3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Étape 4

Évaluez ${(9 - x^{2})}^{\frac{3}{5}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(9 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(9 - 0)}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

${(9 + 0)}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$9^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

${(9 - {(- 3)}^{2})}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

${(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

${(9 - 9)}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.2.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$0^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

Étape 4.2.2.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

Étape 4.2.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$0^{3}$

Étape 4.2.2.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(9 - {(3)}^{2})}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

${(9 - 9)}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.3.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$0^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{3}{5}}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

Étape 4.3.2.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$0^{5 (\frac{3}{5})}$

Étape 4.3.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$0^{3}$

Étape 4.3.2.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 9^{\frac{3}{5}}), (- 3, 0), (3, 0)$

Étape 5