Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{3 \cos (π + 2 x)}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{\cos (π + 2 x)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 e^{2 x} - x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Étape 7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (π + 2 x)}$

Étape 9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} π + 2 x)}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (lim_{x \to 0} π + lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 11

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 lim_{x \to 0} x} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{2 \cdot 0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 e^{0} - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Étape 14.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 \cdot 1 - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Étape 14.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 - 0^{2}}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Étape 14.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 - 0}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Étape 14.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2 + 0}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Étape 14.1.6

Additionnez $1 + 2$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 2}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Étape 14.1.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π + 2 \cdot 0)}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π + 0)}$

Étape 14.2.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\cos (π)}$

Étape 14.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- \cos (0)}$

Étape 14.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1 \cdot 1}$

Étape 14.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{- 1}$

Étape 14.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 1}$

Étape 14.4

Divisez $1$ par $- 1$ .

$- 1$