Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x + 6)}^{2} (x - 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x + 6)}^{2}$ comme $(x + 6) (x + 6)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x + 6) (x + 6) (x - 3))$

Étape 1.1.2

Développez $(x + 6) (x + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x + 6) + 6 (x + 6)) (x - 3))$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)) (x - 3))$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6) (x - 3))$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 6 x + 6 x + 36) (x - 3))$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + 12 x + 36) (x - 3))$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 12 x + 36$ et $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Étape 1.1.5.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Étape 1.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = (x^{2} + 12 x + 36) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Étape 1.1.5.4.2

Multipliez $x^{2} + 12 x + 36$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12 x + 36)$

Étape 1.1.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 12 x + 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Étape 1.1.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (36))$

Étape 1.1.5.7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36))$

Étape 1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36))$

Étape 1.1.5.9

Multipliez $12$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 + \frac{d}{d x} (36))$

Étape 1.1.5.10

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12 + 0)$

Étape 1.1.5.11

Additionnez $2 x + 12$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x + 12)$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot 12$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot 12$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Étape 1.1.6.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Étape 1.1.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Étape 1.1.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Étape 1.1.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Étape 1.1.6.4.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot 12 - 3 \cdot 12$

Étape 1.1.6.4.6

Déplacez $12$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + 12 \cdot x - 3 \cdot 12$

Étape 1.1.6.4.7

Multipliez $- 3$ par $12$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} - 6 x + 12 x - 36$

Étape 1.1.6.4.8

Additionnez $- 6 x$ et $12 x$ .

$f' (x) = x^{2} + 12 x + 36 + 2 x^{2} + 6 x - 36$

Étape 1.1.6.4.9

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 36 + 6 x - 36$

Étape 1.1.6.4.10

Additionnez $12 x$ et $6 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x + 36 - 36$

Étape 1.1.6.4.11

Soustrayez $36$ de $36$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x + 0$

Étape 1.1.6.4.12

Additionnez $3 x^{2} + 18 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 18 x$ .

$3 x^{2} + 18 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 18 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 18 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} + 18 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 18 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $18 x$ .

$3 x (x) + 3 x (6) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (6)$ .

$3 x (x + 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 6$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 6$ .

$0, - 6$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 6)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f' (- 7) = 3 {(- 7)}^{2} + 18 (- 7)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$f' (- 7) = 3 \cdot 49 + 18 (- 7)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $49$ .

$f' (- 7) = 147 + 18 (- 7)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $18$ par $- 7$ .

$f' (- 7) = 147 - 126$

Étape 5.2.2

Soustrayez $126$ de $147$ .

$f' (- 7) = 21$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $21$ .

$21$

Étape 5.3

Sur $x = - 7$ la dérivée est $21$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 6)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 6)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 6, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} + 18 (- 3)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 + 18 (- 3)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f' (- 3) = 27 + 18 (- 3)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $18$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = 27 - 54$

Étape 6.2.2

Soustrayez $54$ de $27$ .

$f' (- 3) = - 27$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 27$ .

$- 27$

Étape 6.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $- 27$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 6, 0)$ .

Diminue sur $(- 6, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 18 (1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 18 (1)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 3 + 18 (1)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$f' (1) = 3 + 18$

Étape 7.2.2

Additionnez $3$ et $18$ .

$f' (1) = 21$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $21$ .

$21$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $21$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 6), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- 6, 0)$

Étape 9