Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x^{2} - 3) e^{- x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 3$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} (- 1 \cdot 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 3) e^{- x} \cdot - 1 + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $(x^{2} - 3) e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot ((x^{2} - 3) e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Étape 1.1.3.3.3

Réécrivez $- 1 (x^{2} - 3)$ comme $- (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2} - 3)$

Étape 1.1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} (- 3))$

Étape 1.1.3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x + 0)$

Étape 1.1.3.7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (- x^{2} + 3) e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Étape 1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} (2 x)$

Étape 1.1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$

Étape 1.1.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x} x + 3 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 x e^{- x} + 3 e^{- x} = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + 3 e^{- x} = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $3 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} (2 x)$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- x^{2} + 2 x) + e^{- x} \cdot 3$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2 (x) + 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$e^{- x} (- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{- x} (- x^{2} - 1 x + 3 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$e^{- x} ((- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$e^{- x} (x (- x - 1) - 3 (- x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$e^{- x} ((- x - 1) (x - 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $- x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $- x - 1$ égal à $0$ .

$- x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $- x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- x = 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x = - 1$

Étape 2.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- x} (- x - 1) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, 3$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{2} e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (4 e^{- (- 2)}) + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{- (- 2)} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} + 2 (- 2) \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{- (- 2)} + 3 e^{- (- 2)}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 \cdot e^{2} + 3 e^{- (- 2)}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 e^{2} - 4 e^{2} + 3 e^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $4 e^{2}$ de $- 4 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 8 e^{2} + 3 e^{2}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 8 e^{2}$ et $3 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 5 e^{2}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 5 e^{2}$ .

$- 5 e^{2}$

Étape 5.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $- 5 e^{2}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - {(1)}^{2} e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - 1 \cdot (1 e^{- (1)}) + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- (1)} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - 1 e^{- 1} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - 1 \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez $- 1 \frac{1}{e}$ comme $- \frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 (1) \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- (1)} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot e^{- 1} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + 2 \cdot \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.9

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- (1)}$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 e^{- 1}$

Étape 6.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + 3 (\frac{1}{e})$

Étape 6.2.1.12

Associez $3$ et $\frac{1}{e}$ .

$f' (1) = - \frac{1}{e} + \frac{2}{e} + \frac{3}{e}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (1) = \frac{- 1 + 2 + 3}{e}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 6.2.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f' (1) = \frac{1 + 3}{e}$

Étape 6.2.2.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (1) = \frac{4}{e}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $\frac{4}{e}$ .

$\frac{4}{e}$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $\frac{4}{e}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1, 3)$ .

Augmente sur $(- 1, 3)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = - {(4)}^{2} e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- (4)}) + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f' (4) = - 16 e^{- (4)} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = - 16 e^{- 4} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - 16 \frac{1}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.5

Associez $- 16$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{- 16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 2 (4) \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- (4)} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot e^{- 4} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + 8 \cdot \frac{1}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.10

Associez $8$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- (4)}$

Étape 7.2.1.11

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 e^{- 4}$

Étape 7.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + 3 (\frac{1}{e^{4}})$

Étape 7.2.1.13

Associez $3$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = - \frac{16}{e^{4}} + \frac{8}{e^{4}} + \frac{3}{e^{4}}$

Étape 7.2.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (4) = \frac{- 16 + 8 + 3}{e^{4}}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $8$ .

$f' (4) = \frac{- 8 + 3}{e^{4}}$

Étape 7.2.2.2.2

Additionnez $- 8$ et $3$ .

$f' (4) = \frac{- 5}{e^{4}}$

Étape 7.2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (4) = - \frac{5}{e^{4}}$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- \frac{5}{e^{4}}$ .

$- \frac{5}{e^{4}}$

Étape 7.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $- \frac{5}{e^{4}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(3, \infty)$ .

Diminue sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 1, 3)$

Diminue sur : $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Étape 9