Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28 x^{2}$ par rapport à $x$ est $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $28$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 1.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.1.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2 \cdot 1$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2$

Étape 1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [56 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (56 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [56 x]$ .

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Étape 1.2.5.1

Comme $56$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $56 x$ par rapport à $x$ est $56 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.5.3

Multipliez $56$ par $1$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.2.6.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 + 0$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56$ et $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56$

Étape 1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56$

Étape 2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2} - 6 x + 56 = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 0.88807315, 1.15259181, 2.73548134$

Étape 3

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 3.1

Remplacez $- 0.88807315$ dans $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.88807315$ dans l’expression.

$f (- 0.88807315) = {(- 0.88807315)}^{5} - 5 {(- 0.88807315)}^{4} - {(- 0.88807315)}^{3} + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 0.88807315$ à la puissance $5$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 5 {(- 0.88807315)}^{4} - {(- 0.88807315)}^{3} + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 0.88807315$ à la puissance $4$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 5 \cdot 0.62200657 - {(- 0.88807315)}^{3} + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $0.62200657$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 - {(- 0.88807315)}^{3} + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Étape 3.1.2.1.4

Élevez $- 0.88807315$ à la puissance $3$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Étape 3.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 0.70040014$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 28 {(- 0.88807315)}^{2} - 2 \cdot - 0.88807315$

Étape 3.1.2.1.6

Élevez $- 0.88807315$ à la puissance $2$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 28 \cdot 0.78867393 - 2 \cdot - 0.88807315$

Étape 3.1.2.1.7

Multipliez $28$ par $0.78867393$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 22.08287011 - 2 \cdot - 0.88807315$

Étape 3.1.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $- 0.88807315$ .

$f (- 0.88807315) = - 0.55238734 - 3.11003285 + 0.70040014 + 22.08287011 + 1.77614631$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $3.11003285$ de $- 0.55238734$ .

$f (- 0.88807315) = - 3.6624202 + 0.70040014 + 22.08287011 + 1.77614631$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $- 3.6624202$ et $0.70040014$ .

$f (- 0.88807315) = - 2.96202005 + 22.08287011 + 1.77614631$

Étape 3.1.2.2.3

Additionnez $- 2.96202005$ et $22.08287011$ .

$f (- 0.88807315) = 19.12085006 + 1.77614631$

Étape 3.1.2.2.4

Additionnez $19.12085006$ et $1.77614631$ .

$f (- 0.88807315) = 20.89699637$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $20.89699637$ .

$20.89699637$

Étape 3.2

Le point trouvé en remplaçant $- 0.88807315$ dans $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ est $(- 0.88807315, 20.89699637)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 0.88807315, 20.89699637)$

Étape 3.3

Remplacez $1.15259181$ dans $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1.15259181$ dans l’expression.

$f (1.15259181) = {(1.15259181)}^{5} - 5 {(1.15259181)}^{4} - {(1.15259181)}^{3} + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Élevez $1.15259181$ à la puissance $5$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 5 {(1.15259181)}^{4} - {(1.15259181)}^{3} + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Étape 3.3.2.1.2

Élevez $1.15259181$ à la puissance $4$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 5 \cdot 1.76482693 - {(1.15259181)}^{3} + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $1.76482693$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - {(1.15259181)}^{3} + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Étape 3.3.2.1.4

Élevez $1.15259181$ à la puissance $3$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1 \cdot 1.53118121 + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Étape 3.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1.53118121$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1.53118121 + 28 {(1.15259181)}^{2} - 2 \cdot 1.15259181$

Étape 3.3.2.1.6

Élevez $1.15259181$ à la puissance $2$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1.53118121 + 28 \cdot 1.32846789 - 2 \cdot 1.15259181$

Étape 3.3.2.1.7

Multipliez $28$ par $1.32846789$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1.53118121 + 37.19710094 - 2 \cdot 1.15259181$

Étape 3.3.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $1.15259181$ .

$f (1.15259181) = 2.03412508 - 8.82413468 - 1.53118121 + 37.19710094 - 2.30518362$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Soustrayez $8.82413468$ de $2.03412508$ .

$f (1.15259181) = - 6.7900096 - 1.53118121 + 37.19710094 - 2.30518362$

Étape 3.3.2.2.2

Soustrayez $1.53118121$ de $- 6.7900096$ .

$f (1.15259181) = - 8.32119081 + 37.19710094 - 2.30518362$

Étape 3.3.2.2.3

Additionnez $- 8.32119081$ et $37.19710094$ .

$f (1.15259181) = 28.87591012 - 2.30518362$

Étape 3.3.2.2.4

Soustrayez $2.30518362$ de $28.87591012$ .

$f (1.15259181) = 26.57072649$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $26.57072649$ .

$26.57072649$

Étape 3.4

Le point trouvé en remplaçant $1.15259181$ dans $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ est $(1.15259181, 26.57072649)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1.15259181, 26.57072649)$

Étape 3.5

Remplacez $2.73548134$ dans $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $2.73548134$ dans l’expression.

$f (2.73548134) = {(2.73548134)}^{5} - 5 {(2.73548134)}^{4} - {(2.73548134)}^{3} + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Élevez $2.73548134$ à la puissance $5$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 5 {(2.73548134)}^{4} - {(2.73548134)}^{3} + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Étape 3.5.2.1.2

Élevez $2.73548134$ à la puissance $4$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 5 \cdot 55.99316649 - {(2.73548134)}^{3} + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Étape 3.5.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $55.99316649$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - {(2.73548134)}^{3} + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Étape 3.5.2.1.4

Élevez $2.73548134$ à la puissance $3$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 1 \cdot 20.46921893 + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Étape 3.5.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $20.46921893$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 20.46921893 + 28 {(2.73548134)}^{2} - 2 \cdot 2.73548134$

Étape 3.5.2.1.6

Élevez $2.73548134$ à la puissance $2$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 20.46921893 + 28 \cdot 7.48285817 - 2 \cdot 2.73548134$

Étape 3.5.2.1.7

Multipliez $28$ par $7.48285817$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 20.46921893 + 209.52002894 - 2 \cdot 2.73548134$

Étape 3.5.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $2.73548134$ .

$f (2.73548134) = 153.16826225 - 279.96583245 - 20.46921893 + 209.52002894 - 5.47096268$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.5.2.2.1

Soustrayez $279.96583245$ de $153.16826225$ .

$f (2.73548134) = - 126.79757019 - 20.46921893 + 209.52002894 - 5.47096268$

Étape 3.5.2.2.2

Soustrayez $20.46921893$ de $- 126.79757019$ .

$f (2.73548134) = - 147.26678913 + 209.52002894 - 5.47096268$

Étape 3.5.2.2.3

Additionnez $- 147.26678913$ et $209.52002894$ .

$f (2.73548134) = 62.25323981 - 5.47096268$

Étape 3.5.2.2.4

Soustrayez $5.47096268$ de $62.25323981$ .

$f (2.73548134) = 56.78227712$

Étape 3.5.2.3

La réponse finale est $56.78227712$ .

$56.78227712$

Étape 3.6

Le point trouvé en remplaçant $2.73548134$ dans $f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ est $(2.73548134, 56.78227712)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2.73548134, 56.78227712)$

Étape 3.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- 0.88807315, 20.89699637), (1.15259181, 26.57072649), (2.73548134, 56.78227712)$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 0.88807315) \cup (- 0.88807315, 1.15259181) \cup (1.15259181, 2.73548134) \cup (2.73548134, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 0.88807315)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.98807315$ dans l’expression.

$f'' (- 0.98807315) = 20 {(- 0.98807315)}^{3} - 60 {(- 0.98807315)}^{2} - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.98807315$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 0.98807315) = 20 \cdot - 0.96464452 - 60 {(- 0.98807315)}^{2} - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $20$ par $- 0.96464452$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 19.29289047 - 60 {(- 0.98807315)}^{2} - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 0.98807315$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 19.29289047 - 60 \cdot 0.97628856 - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $0.97628856$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 19.29289047 - 58.57731384 - 6 \cdot - 0.98807315 + 56$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 0.98807315$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 19.29289047 - 58.57731384 + 5.92843894 + 56$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $58.57731384$ de $- 19.29289047$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 77.87020432 + 5.92843894 + 56$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 77.87020432$ et $5.92843894$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 71.94176537 + 56$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $- 71.94176537$ et $56$ .

$f'' (- 0.98807315) = - 15.94176537$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 15.94176537$ .

$- 15.94176537$

Étape 5.3

Sur $- 0.98807315$ , la dérivée seconde est $- 15.94176537$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 0.88807315)$

Diminue sur $(- \infty, - 0.88807315)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.88807315, 1.15259181)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.13225932$ dans l’expression.

$f'' (0.13225932) = 20 {(0.13225932)}^{3} - 60 {(0.13225932)}^{2} - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.13225932$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.13225932) = 20 \cdot 0.00231355 - 60 {(0.13225932)}^{2} - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $20$ par $0.00231355$ .

$f'' (0.13225932) = 0.046271 - 60 {(0.13225932)}^{2} - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Étape 6.2.1.3

Élevez $0.13225932$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.13225932) = 0.046271 - 60 \cdot 0.01749253 - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $0.01749253$ .

$f'' (0.13225932) = 0.046271 - 1.0495518 - 6 \cdot 0.13225932 + 56$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $0.13225932$ .

$f'' (0.13225932) = 0.046271 - 1.0495518 - 0.79355597 + 56$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $1.0495518$ de $0.046271$ .

$f'' (0.13225932) = - 1.00328079 - 0.79355597 + 56$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $0.79355597$ de $- 1.00328079$ .

$f'' (0.13225932) = - 1.79683676 + 56$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $- 1.79683676$ et $56$ .

$f'' (0.13225932) = 54.20316323$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $54.20316323$ .

$54.20316323$

Étape 6.3

Sur $0.13225932$ , la dérivée seconde est $54.20316323$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 0.88807315, 1.15259181)$ .

Augmente sur $(- 0.88807315, 1.15259181)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1.15259181, 2.73548134)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.94403657$ dans l’expression.

$f'' (1.94403657) = 20 {(1.94403657)}^{3} - 60 {(1.94403657)}^{2} - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1.94403657$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.94403657) = 20 \cdot 7.34705509 - 60 {(1.94403657)}^{2} - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $20$ par $7.34705509$ .

$f'' (1.94403657) = 146.94110197 - 60 {(1.94403657)}^{2} - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Étape 7.2.1.3

Élevez $1.94403657$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.94403657) = 146.94110197 - 60 \cdot 3.77927821 - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $3.77927821$ .

$f'' (1.94403657) = 146.94110197 - 226.75669314 - 6 \cdot 1.94403657 + 56$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $1.94403657$ .

$f'' (1.94403657) = 146.94110197 - 226.75669314 - 11.66421947 + 56$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $226.75669314$ de $146.94110197$ .

$f'' (1.94403657) = - 79.81559116 - 11.66421947 + 56$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $11.66421947$ de $- 79.81559116$ .

$f'' (1.94403657) = - 91.47981064 + 56$

Étape 7.2.2.3

Additionnez $- 91.47981064$ et $56$ .

$f'' (1.94403657) = - 35.47981064$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 35.47981064$ .

$- 35.47981064$

Étape 7.3

Sur $1.94403657$ , la dérivée seconde est $- 35.47981064$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(1.15259181, 2.73548134)$

Diminue sur $(1.15259181, 2.73548134)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2.73548134, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.83548134$ dans l’expression.

$f'' (2.83548134) = 20 {(2.83548134)}^{3} - 60 {(2.83548134)}^{2} - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2.83548134$ à la puissance $3$ .

$f'' (2.83548134) = 20 \cdot 22.79714082 - 60 {(2.83548134)}^{2} - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $20$ par $22.79714082$ .

$f'' (2.83548134) = 455.94281652 - 60 {(2.83548134)}^{2} - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Étape 8.2.1.3

Élevez $2.83548134$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.83548134) = 455.94281652 - 60 \cdot 8.03995444 - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $8.03995444$ .

$f'' (2.83548134) = 455.94281652 - 482.39726671 - 6 \cdot 2.83548134 + 56$

Étape 8.2.1.5

Multipliez $- 6$ par $2.83548134$ .

$f'' (2.83548134) = 455.94281652 - 482.39726671 - 17.01288805 + 56$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Soustrayez $482.39726671$ de $455.94281652$ .

$f'' (2.83548134) = - 26.45445019 - 17.01288805 + 56$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $17.01288805$ de $- 26.45445019$ .

$f'' (2.83548134) = - 43.46733824 + 56$

Étape 8.2.2.3

Additionnez $- 43.46733824$ et $56$ .

$f'' (2.83548134) = 12.53266175$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $12.53266175$ .

$12.53266175$

Étape 8.3

Sur $2.83548134$ , la dérivée seconde est $12.53266175$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2.73548134, \infty)$ .

Augmente sur $(2.73548134, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 0.88807315, 20.89699637), (1.15259181, 26.57072649), (2.73548134, 56.78227712)$ .

$(- 0.88807315, 20.89699637), (1.15259181, 26.57072649), (2.73548134, 56.78227712)$

Étape 10