Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\frac{8}{7}}$ , $y = 6 x^{\frac{1}{7}}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{\frac{8}{7}} = 6 x^{\frac{1}{7}}$

Étape 1.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = 0, 6$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 6 \cdot 0^{\frac{1}{7}}$

Étape 1.3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$

Étape 1.3.2.3

Simplifiez $6 {(0)}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.3.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{7}$ .

$y = 6 {(0^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 1.3.2.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

Étape 1.3.2.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 1.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 6 \cdot 0^{7 (\frac{1}{7})}$

Étape 1.3.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 6 \cdot 0^{1}$

Étape 1.3.2.3.3

Évaluez l’exposant.

$y = 6 \cdot 0$

Étape 1.3.2.3.4

Multipliez $6$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 6$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Étape 1.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans $y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 6 \cdot 6^{\frac{1}{7}}$

Étape 1.4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 6 {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Étape 1.4.2.3

Multipliez $6$ par ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.3.1

Multipliez $6$ par ${(6)}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 1.4.2.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $1$ .

$y = 6^{1} {(6)}^{\frac{1}{7}}$

Étape 1.4.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 6^{1 + \frac{1}{7}}$

Étape 1.4.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = 6^{\frac{7}{7} + \frac{1}{7}}$

Étape 1.4.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 6^{\frac{7 + 1}{7}}$

Étape 1.4.2.3.4

Additionnez $7$ et $1$ .

$y = 6^{\frac{8}{7}}$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

$(0, 0)$

$(6, 6^{\frac{8}{7}})$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $6$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - (x^{\frac{8}{7}}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $x^{\frac{8}{7}}$ .

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{6} 6 x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Étape 3.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int_{0}^{6} x^{\frac{1}{7}} d x + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{7}}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{7}{8}$ et $x^{\frac{8}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} - x^{\frac{8}{7}} d x$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - \int_{0}^{6} x^{\frac{8}{7}} d x$

Étape 3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{8}{7}}$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7}{15} x^{\frac{15}{7}}]_{0}^{6})$

Étape 3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.9.1

Associez $\frac{7}{15}$ et $x^{\frac{15}{7}}$ .

$6 (\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}]_{0}^{6}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

Étape 3.9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.2.1

Évaluez $\frac{7 x^{\frac{8}{7}}}{8}$ sur $6$ et sur $0$ .

$6 ((\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}) - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}]_{0}^{6})$

Étape 3.9.2.2

Évaluez $\frac{7 x^{\frac{15}{7}}}{15}$ sur $6$ et sur $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3

Simplifiez

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Étape 3.9.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{7}$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{8}{7}}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.9.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0^{8}}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{7 \cdot 0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.5

Multipliez $7$ par $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $8$ .

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Étape 3.9.2.3.6.1

Factorisez $8$ à partir de $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 (0)}{8}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.6.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - \frac{0}{1}) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 (\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} + 0) - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.8

Additionnez $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ et $0$ .

$6 \frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.9

Associez $6$ et $\frac{7 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8}$ .

$\frac{6 (7 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.10

Multipliez $7$ par $6$ .

$\frac{42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.11

Factorisez $2$ à partir de $42 \cdot 6^{\frac{8}{7}}$ .

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{8} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 (4)} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (21 \cdot 6^{\frac{8}{7}})}{2 \cdot 4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.13

Réécrivez $0$ comme $0^{7}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot {(0^{7})}^{\frac{15}{7}}}{15})$

Étape 3.9.2.3.14

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

Étape 3.9.2.3.15

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.9.2.3.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{7 (\frac{15}{7})}}{15})$

Étape 3.9.2.3.15.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0^{15}}{15})$

Étape 3.9.2.3.16

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{7 \cdot 0}{15})$

Étape 3.9.2.3.17

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{15})$

Étape 3.9.2.3.18

Annulez le facteur commun à $0$ et $15$ .

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Étape 3.9.2.3.18.1

Factorisez $15$ à partir de $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 (0)}{15})$

Étape 3.9.2.3.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.18.2.1

Factorisez $15$ à partir de $15$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

Étape 3.9.2.3.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{15 \cdot 0}{15 \cdot 1})$

Étape 3.9.2.3.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - \frac{0}{1})$

Étape 3.9.2.3.18.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} - 0)$

Étape 3.9.2.3.19

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - (\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} + 0)$

Étape 3.9.2.3.20

Additionnez $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ et $0$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

Étape 3.9.2.3.21

Pour écrire $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$

Étape 3.9.2.3.22

Pour écrire $- \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4} \cdot \frac{15}{15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.9.2.3.23

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $60$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.9.2.3.23.1

Multipliez $\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}}}{4}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{4 \cdot 15} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.9.2.3.23.2

Multipliez $4$ par $15$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.9.2.3.23.3

Multipliez $\frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{15}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{15 \cdot 4}$

Étape 3.9.2.3.23.4

Multipliez $15$ par $4$ .

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15}{60} - \frac{7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Étape 3.9.2.3.24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{21 \cdot 6^{\frac{8}{7}} \cdot 15 - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Étape 3.9.2.3.25

Multipliez $15$ par $21$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 7 \cdot 6^{\frac{15}{7}} \cdot 4}{60}$

Étape 3.9.2.3.26

Multipliez $4$ par $- 7$ .

$\frac{315 \cdot 6^{\frac{8}{7}} - 28 \cdot 6^{\frac{15}{7}}}{60}$

Étape 4