Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$

Étape 1

Prenez la dérivée de $\int_{1}^{\sqrt{x}} \frac{z^{2}}{z^{4} + 1} d z$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 9

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{2}}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{1}}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 9.5

Simplifiez

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt{x}}^{4} + 1}$

Étape 10

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{4}$ comme $x^{2}$ .

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Étape 10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 1}$

Étape 10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 1}$

Étape 10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{4}{2}} + 1}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 1}$

Étape 10.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 1}$

Étape 10.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 1}$

Étape 10.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{\frac{2}{1}} + 1}$

Étape 10.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x^{2} + 1}$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

Étape 12

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 13

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 13.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 13.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 13.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$

Étape 13.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{2} + 1)}$